(1) 平行四辺形ABCDにおいて、$AD // EF$であり、点GはEFとBDの交点である。$\angle ABD = 67^\circ$, $\angle BCD = 69^\circ$のとき、$\angle x$の大きさを求める。 (2) 四角形ABCDにおいて、点Eは$\angle BAD$の二等分線と$\angle BCD$の二等分線の交点である。$\angle ABC = 73^\circ$, $\angle ADC = 107^\circ$のとき、$\angle x$の大きさを求める。 (3) $\triangle ABC$は、$\angle ABC = 90^\circ$, $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm, $AC = 5$ cmの直角三角形である。辺AC上に点Dを$AC \perp BD$となるようにとる。次に、辺AB上に点Eを$EB = ED$, 辺BC上に点Fを$FB = FD$となるようにとり、線分BDと線分EFの交点をGとする。このとき、線分DGの長さを求める。

1. 問題の内容

(1) 平行四辺形ABCDにおいて、$AD // EF$であり、点GはEFとBDの交点である。$\angle ABD = 67^\circ$, $\angle BCD = 69^\circ$のとき、$\angle x$の大きさを求める。

(2) 四角形ABCDにおいて、点Eは$\angle BAD$の二等分線と$\angle BCD$の二等分線の交点である。$\angle ABC = 73^\circ$, $\angle ADC = 107^\circ$のとき、$\angle x$の大きさを求める。

(3) $\triangle ABC$は、$\angle ABC = 90^\circ$, $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm, $AC = 5$ cmの直角三角形である。辺AC上に点Dを$AC \perp BD$となるようにとる。次に、辺AB上に点Eを$EB = ED$, 辺BC上に点Fを$FB = FD$となるようにとり、線分BDと線分EFの交点をGとする。このとき、線分DGの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 平行四辺形の対角は等しいので、$\angle DAB = \angle BCD = 69^\circ$

* $AD // BC$より、$\angle ADB = \angle DBC$ (錯角)

* 平行四辺形の対辺は平行なので、$AD // EF$から、$EF // BC$。よって、$\angle EBG = \angle DBC$となる。

* 三角形ABDにおいて、$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$なので、$\angle ADB = 180^\circ - \angle DAB - \angle ABD = 180^\circ - 69^\circ - 67^\circ = 44^\circ$

* したがって、$\angle DBC = 44^\circ$

* $\angle EBG = \angle DBC = 44^\circ$

* $\angle x = \angle EBG + \angle ABD = 44^\circ + 67^\circ = 111^\circ$

(2)

* 四角形の内角の和は360度なので、$\angle BAD + \angle BCD = 360^\circ - \angle ABC - \angle ADC = 360^\circ - 73^\circ - 107^\circ = 180^\circ$

* 点Eは$\angle BAD$と$\angle BCD$の二等分線の交点なので、$\angle EAD = \angle BAE$ と $\angle ECD = \angle BCE$。

* $2 \angle EAD + 2 \angle ECD = \angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$より、$\angle EAD + \angle ECD = 90^\circ$

* 四角形AECDの内角の和は360度なので、$\angle AEC = 360^\circ - \angle EAD - \angle ADC - \angle ECD = 360^\circ - 90^\circ - 107^\circ = 163^\circ$

* したがって、$\angle x = 163^\circ$

(3)

* $\triangle ABC$は直角三角形なので、三平方の定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2$。実際に$5^2 = 3^2 + 4^2$なので、これは正しい。

* $\triangle ABD$と$\triangle ABC$は相似なので、$BD = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5}$

* $\triangle BED$と$\triangle BFD$は二等辺三角形である。

* $EB=ED$かつ$FB=FD$であるから、直線$BD$は$\triangle EBF$の頂点$B$から対辺$EF$に下ろした垂線である。よって、$BD$は線分$EF$を垂直に二等分する。$G$は$BD$と$EF$の交点なので、$G$は$EF$の中点である。

* $\triangle BDE$と$\triangle BDF$は合同な二等辺三角形であり、$\triangle BGF$と$\triangle DGE$も合同である。

* $DG = BD - BG$なので、$BG$の長さを求める。

* $BG = \frac{AB^2}{AC} = \frac{9}{5}$

* $DG = BD - BG = \frac{12}{5} - \frac{9}{5} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle x = 111^\circ$

(2) $\angle x = 163^\circ$

(3) $DG = \frac{3}{5}$ cm