等差数列 $\{a_n\}$ が $a_2 + a_4 = 14$、$a_3 + a_5 = 18$ を満たし、公比が正の等比数列 $\{b_n\}$ が $b_3 + b_4 = 24$、$b_5 = 32$ を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ をそれぞれ $n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ が $a_2 + a_4 = 14$、$a_3 + a_5 = 18$ を満たし、公比が正の等比数列 $\{b_n\}$ が $b_3 + b_4 = 24$、$b_5 = 32$ を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ をそれぞれ $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ について：

数列 $\{a_n\}$ の初項を $a$、公差を $d$ とすると、$a_n = a + (n-1)d$ と表せる。

$a_2 = a + d$、 $a_4 = a + 3d$ より、$a_2 + a_4 = (a+d) + (a+3d) = 2a + 4d = 14$

$a_3 = a + 2d$、 $a_5 = a + 4d$ より、$a_3 + a_5 = (a+2d) + (a+4d) = 2a + 6d = 18$

連立方程式

$2a + 4d = 14$

$2a + 6d = 18$

を解く。

第2式から第1式を引くと、$2d = 4$ より $d = 2$。

$2a + 4(2) = 14$ より $2a + 8 = 14$ なので、$2a = 6$ より $a = 3$。

したがって、$a_n = a + (n-1)d = 3 + (n-1)2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$

(2) 数列 $\{b_n\}$ について：

数列 $\{b_n\}$ の初項を $b$、公比を $r$ とすると、$b_n = br^{n-1}$ と表せる。

$b_3 = br^2$、 $b_4 = br^3$ より、$b_3 + b_4 = br^2 + br^3 = br^2(1+r) = 24$

$b_5 = br^4 = 32$

$\frac{b_5}{b_3 + b_4} = \frac{br^4}{br^2(1+r)} = \frac{r^2}{1+r} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$

$3r^2 = 4(1+r)$ より $3r^2 = 4 + 4r$ なので、$3r^2 - 4r - 4 = 0$。

$(3r + 2)(r - 2) = 0$

$r = -\frac{2}{3}$ または $r = 2$

公比は正なので、$r = 2$。

$b_5 = br^4 = b(2^4) = 16b = 32$ より、$b = 2$。

したがって、$b_n = br^{n-1} = 2(2^{n-1}) = 2^n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n + 1$

(2) $b_n = 2^n$