図において、$\angle x$ の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

図において、$\angle x$ の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle AFD$ は $\angle CFE$ と対頂角なので、$\angle CFE = 81^\circ$ です。

次に、円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CED = 52^\circ$です。

三角形 $CFE$ において、内角の和は $180^\circ$ なので、

$\angle ECF = 180^\circ - (\angle CFE + \angle FEC) = 180^\circ - (81^\circ + 52^\circ) = 180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$

$\angle CAB = \angle CAD + \angle DAB$ です。

$\angle CAD = 52^\circ$ です。

$\angle DAB = \angle DEB$ (円周角の定理) です。

三角形 $DEB$ において、内角の和は $180^\circ$ なので、

$\angle DEB = 180^\circ - (\angle EDB + \angle DBE) = 180^\circ - (52^\circ + \angle x)$ です。

また、円周角の定理より、$\angle CAB = \angle CEB$ です。

$\angle CEB = \angle CED + \angle DEB = 52^\circ + (180^\circ - (52^\circ + \angle x))$ です。

$\angle CAB = \angle CEB = 180^\circ - \angle x$ です。

$\angle ACB = \angle ACE = \angle ECF = 47^\circ$ です。

三角形 $ABC$ において、$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$ です。

$\angle x + 47^\circ + (180^\circ - \angle x) = 180^\circ$

$\angle CAB = 180^\circ - 52^\circ - x$

$\angle CAB = 128^\circ - x$

また$\angle A$に対する円周角は$\angle ACB$なので$\angle ABC =x$となる。

$\angle ACB = 47$なので

$x+47+128-x=180$

$\angle CED = \angle CAD = 52^\circ$

三角形$BDE$を考える。

$\angle BDE = 52^\circ$

$\angle BED = \angle BEC = \angle BAC$

$\angle BEC = \angle BAC$

$180-52-x = \angle BAC$

$\angle CAD = 52^\circ$

$\angle DAB = 81^\circ - \angle CAD = 81^\circ - 52^\circ = 29^\circ$

$\angle CED = 52^\circ$

$\angle BEC = \angle CED + \angle DEB$

$\angle DEB = \angle DAB = 29^\circ$

$\angle BEC = 52^\circ + 29^\circ = 81^\circ$

$\angle BAC = 81^\circ$

三角形$ABC$において

$\angle ACB = 47^\circ$

$\angle BAC = 81^\circ$

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle ACB + \angle BAC) = 180^\circ - (47^\circ + 81^\circ) = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$

したがって、$x = 52^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle x = 52^\circ$