$\sin \theta = \frac{1}{4}$ であり、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{1}{4}$ であり、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \theta$ を求めます。

三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用います。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\sin \theta = \frac{1}{4}$ なので、

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

したがって、$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\cos \theta < 0$ なので、

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

次に、$\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\sin \theta = \frac{1}{4}$ であり、$\cos \theta = - \frac{\sqrt{15}}{4}$ なので、

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{-\sqrt{15}} = -\frac{1}{\sqrt{15}}$

分母を有理化すると、

$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{15}}{15}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan \theta = - \frac{\sqrt{15}}{15}$