円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = 2x + k$ が共有点を持つときの、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = 2x + k$ が共有点を持つときの、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = 9$ の中心は原点 $(0, 0)$ で、半径は $3$ です。

直線 $y = 2x + k$ と円が共有点を持つ条件は、円の中心から直線までの距離が円の半径以下であることです。

点と直線の距離の公式を使って、原点 $(0, 0)$ から直線 $2x - y + k = 0$ までの距離 $d$ を求めます。

$d = \frac{|2(0) - (0) + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$

円と直線が共有点を持つ条件は $d \leq 3$ なので、

$\frac{|k|}{\sqrt{5}} \leq 3$

$|k| \leq 3\sqrt{5}$

$-3\sqrt{5} \leq k \leq 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$-3\sqrt{5} \leq k \leq 3\sqrt{5}$