中心が$(-3, 4)$で、円$x^2 + y^2 = 4$と接する円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

中心が$(-3, 4)$で、円$x^2 + y^2 = 4$と接する円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

円$x^2 + y^2 = 4$は、中心が原点$(0, 0)$、半径が$2$の円です。求める円の中心は$(-3, 4)$なので、求める円の半径を$r$とすると、2つの円が接するためには、中心間の距離が半径の和または差に等しくなる必要があります。

2つの円の中心間の距離$d$は、

$d = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

となります。

したがって、

$|r - 2| = 5$または$r + 2 = 5$

が成り立ちます。

$|r - 2| = 5$の場合、$r - 2 = 5$または$r - 2 = -5$なので、$r = 7$または$r = -3$となります。半径は正なので、$r = 7$です。

$r + 2 = 5$の場合、$r = 3$です。

半径$r = 7$の場合、求める円の方程式は

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 7^2$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 49$

半径$r = 3$の場合、求める円の方程式は

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 3^2$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 9$

3. 最終的な答え

求める円の方程式は、

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 49$

または

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 9$

です。