与えられた4x4行列の行列式を計算します。 行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 & 3 \\ -5 & -3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -3 & -6 \\ -1 & -4 & 1 & -9 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。

行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 & 3 \\ -5 & -3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -3 & -6 \\ -1 & -4 & 1 & -9 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関する余因子展開を使用します。

ここでは、第1行に関して余因子展開を行うことにします。

$det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} + a_{14}C_{14}$

ここで、$a_{ij}$は行列Aのi行j列の要素、$C_{ij}$は$a_{ij}$に対応する余因子です。

$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$であり、$M_{ij}$は小行列式（i行とj列を取り除いた行列の行列式）です。

$det(A) = 3 \cdot C_{11} + (-1) \cdot C_{12} + (-2) \cdot C_{13} + 3 \cdot C_{14}$

まず、$M_{11}$を計算します。

$M_{11} = det \begin{pmatrix} -3 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & -6 \\ -4 & 1 & -9 \end{pmatrix} = -3((-3)(-9)-(-6)(1)) - 1(2(-9)-(-6)(-4)) + 2(2(1)-(-3)(-4)) = -3(27+6) - (-18-24) + 2(2-12) = -3(33) - (-42) + 2(-10) = -99 + 42 - 20 = -77$

$C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = 1 \cdot (-77) = -77$

次に、$M_{12}$を計算します。

$M_{12} = det \begin{pmatrix} -5 & 1 & 2 \\ 4 & -3 & -6 \\ -1 & 1 & -9 \end{pmatrix} = -5((-3)(-9)-(-6)(1)) - 1(4(-9)-(-6)(-1)) + 2(4(1)-(-3)(-1)) = -5(27+6) - (-36-6) + 2(4-3) = -5(33) - (-42) + 2(1) = -165 + 42 + 2 = -121$

$C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = -1 \cdot (-121) = 121$

次に、$M_{13}$を計算します。

$M_{13} = det \begin{pmatrix} -5 & -3 & 2 \\ 4 & 2 & -6 \\ -1 & -4 & -9 \end{pmatrix} = -5(2(-9)-(-6)(-4)) - (-3)(4(-9)-(-6)(-1)) + 2(4(-4)-2(-1)) = -5(-18-24) + 3(-36-6) + 2(-16+2) = -5(-42) + 3(-42) + 2(-14) = 210 - 126 - 28 = 56$

$C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} = 1 \cdot 56 = 56$

次に、$M_{14}$を計算します。

$M_{14} = det \begin{pmatrix} -5 & -3 & 1 \\ 4 & 2 & -3 \\ -1 & -4 & 1 \end{pmatrix} = -5(2(1)-(-3)(-4)) - (-3)(4(1)-(-3)(-1)) + 1(4(-4)-2(-1)) = -5(2-12) + 3(4-3) + (-16+2) = -5(-10) + 3(1) + (-14) = 50 + 3 - 14 = 39$

$C_{14} = (-1)^{1+4}M_{14} = -1 \cdot 39 = -39$

したがって、行列式は次のようになります。

$det(A) = 3 \cdot (-77) + (-1) \cdot (121) + (-2) \cdot (56) + 3 \cdot (-39) = -231 - 121 - 112 - 117 = -581$

3. 最終的な答え

-581