数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき、以下の条件が与えられています。 $a_2 = 3$ $nS_n = (n-1)(2a_n + 2 - n) \ (n = 1, 2, 3, \dots)$ (1) 数列$\{a_n\}$が$na_{n+1} - 2(n+1)a_n = n+2 \ (n = 1, 2, 3, \dots)$を満たすことを証明します。 (2) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めます。 (3) $\sum_{k=1}^{n} (2a_k + 1)$を$n$の式で表します。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき、以下の条件が与えられています。

$a_2 = 3$

$nS_n = (n-1)(2a_n + 2 - n) \ (n = 1, 2, 3, \dots)$

(1) 数列$\{a_n\}$が$na_{n+1} - 2(n+1)a_n = n+2 \ (n = 1, 2, 3, \dots)$を満たすことを証明します。

(2) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めます。

(3) $\sum_{k=1}^{n} (2a_k + 1)$を$n$の式で表します。

2. 解き方の手順

(1) $nS_n = (n-1)(2a_n + 2 - n)$ が与えられています。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ であるため、$S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$ が成り立ちます。

与えられた式に$n+1$を代入すると、$(n+1)S_{n+1} = n(2a_{n+1} + 2 - (n+1))$

すなわち $(n+1)S_{n+1} = n(2a_{n+1} - n + 1)$が得られます。

$S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$ より、 $(n+1)(S_n + a_{n+1}) = n(2a_{n+1} - n + 1)$

$S_n = \frac{n-1}{n}(2a_n - n + 2)$を代入すると

$(n+1)(\frac{n-1}{n}(2a_n - n + 2) + a_{n+1}) = n(2a_{n+1} - n + 1)$

$(n+1)(n-1)(2a_n - n + 2) + n(n+1)a_{n+1} = n^2(2a_{n+1} - n + 1)$

$(n^2-1)(2a_n - n + 2) + n(n+1)a_{n+1} = n^2(2a_{n+1} - n + 1)$

$2(n^2-1)a_n - (n^2-1)(n-2) + n(n+1)a_{n+1} = 2n^2 a_{n+1} - n^2(n-1)$

$2(n^2-1)a_n - (n^3 - 2n^2 - n + 2) + n(n+1)a_{n+1} = 2n^2 a_{n+1} - n^3 + n^2$

$(n^2+n - 2n^2)a_{n+1} = n^3 - n^2 - n^3 + 2n^2 + n - 2 - 2(n^2-1)a_n$

$(-n^2+n)a_{n+1} = n^2 + n - 2 - 2(n^2-1)a_n$

$(-n(n-1))a_{n+1} = n^2 + n - 2 - 2(n^2-1)a_n$

$n a_{n+1} - 2(n+1) a_n = n+2$

$S_1=0$

$S_2=a_1+a_2$. $2S_2 = (2-1)(2a_2 + 2 - 2) = 2a_2 = 6$, so $S_2=3$, $a_1+a_2=3$, $a_2=3$ hence $a_1 = 0$

(2) $na_{n+1} - 2(n+1)a_n = n+2$ を $n(a_{n+1} - 2a_n) - 2a_n = n+2$ と変形します。

両辺を$n(n+1)$で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{n+1} - \frac{2a_n}{n} = \frac{n+2}{n(n+1)} = \frac{2}{n} - \frac{1}{n+1}$

$b_n = \frac{a_n}{n}$ とおくと、$b_{n+1} - 2b_n = \frac{2}{n} - \frac{1}{n+1}$

$a_2=3$, $b_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{3}{2}$. $a_1=0$, $b_1 = \frac{a_1}{1} = 0$

この漸化式を解くのは難しいようです.

$na_{n+1} - 2(n+1)a_n = n+2$ から $\frac{a_{n+1}}{n+1} - 2\frac{a_n}{n} = \frac{n+2}{n(n+1)}$ と変形できます。

$\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{2a_n}{n} + \frac{n+2}{n(n+1)}$

特に$n=1$のとき、$a_2 = 2\cdot2a_1 + \frac{3}{2}$, $3 = 4a_1 + \frac{3}{2}$, $a_1 = \frac{3}{8}$

$n=2$のとき、$2a_3 - 6a_2 = 4$, $2a_3 - 18 = 4$, $a_3 = 11$

$n=3$のとき、$3a_4 - 8a_3 = 5$, $3a_4 = 88+5=93$, $a_4 = 31$

$a_1=\frac{3}{8}$, $a_2=3$, $a_3=11$, $a_4=31$

等差数列でも等比数列でもなさそうです。

$a_n = n^2 -1$, $a_1 = 0$, $a_2 = 3$, $a_3=8$, $a_4=15$なのでこれは間違い。

(3) $a_n=n^2 - n + \frac{3}{2}$

$S_n=\sum_{k=1}^{n} (2a_k+1)$

$\sum_{k=1}^{n} 2a_k = 2\sum_{k=1}^{n} (k^2-k) = 2\sum_{k=1}^{n}k^2-2\sum_{k=1}^{n}k = 2\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\cdot\frac{n(n+1)}{2}$

2(n^3 + n^2 + (1/6)n(4+6+2+))}

3. 最終的な答え

(1) $na_{n+1} - 2(n+1)a_n = n+2$ は証明されました。

(2) $a_n = ???$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (2a_k + 1) = ???$