(4) $\frac{1}{3+\sqrt{5}}$ の分母を有理化する。 (5) $\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$ の分母を有理化する。 (6) 1次不等式 $\frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3}x - 5$ を解く。 (7) 2次方程式 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ を解く。 (8) xは実数とする。「$x^2=13$」は「$x=\sqrt{13}$」であるための必要条件、十分条件を答える。

1. 問題の内容

(4) $\frac{1}{3+\sqrt{5}}$ の分母を有理化する。

(5) $\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$ の分母を有理化する。

(6) 1次不等式 $\frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3}x - 5$ を解く。

(7) 2次方程式 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ を解く。

(8) xは実数とする。「$x^2=13$」は「$x=\sqrt{13}$」であるための必要条件、十分条件を答える。

2. 解き方の手順

(4) 分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $3-\sqrt{5}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{3+\sqrt{5}} = \frac{1}{3+\sqrt{5}} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{3-\sqrt{5}}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3-\sqrt{5}}{9-5} = \frac{3-\sqrt{5}}{4}$

(5) 分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $2+\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{(2+\sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4+4\sqrt{2}+2}{4-2} = \frac{6+4\sqrt{2}}{2} = 3+2\sqrt{2}$

(6) 不等式を解きます。

$\frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3}x - 5$

両辺に6を掛けて

$3(3x-1) > 4x - 30$

$9x - 3 > 4x - 30$

$5x > -27$

$x > -\frac{27}{5}$

(7) 2次方程式を解きます。

$2x^2 + 5x - 3 = 0$

$(2x-1)(x+3) = 0$

$2x-1=0$ または $x+3=0$

$x = \frac{1}{2}$ または $x = -3$

(8) $x^2 = 13$ ならば $x = \pm \sqrt{13}$ です。

$x=\sqrt{13}$ ならば $x^2 = 13$ です。

したがって、$x^2 = 13$ は $x = \sqrt{13}$ であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

3. 最終的な答え

(4) $\frac{3-\sqrt{5}}{4}$

(5) $3+2\sqrt{2}$

(6) $x > -\frac{27}{5}$

(7) $x = \frac{1}{2}, -3$

(8) ②