$x \geq 0$ のとき、不等式 $x^3 + 4x \geq 3x^2$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x \geq 0$ のとき、不等式 $x^3 + 4x \geq 3x^2$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

不等式を変形し、因数分解を用いて証明する。

まず、不等式 $x^3 + 4x \geq 3x^2$ を変形する。

$x^3 + 4x - 3x^2 \geq 0$

$x^3 - 3x^2 + 4x \geq 0$

次に、左辺を因数分解する。

$x(x^2 - 3x + 4) \geq 0$

ここで、$x^2 - 3x + 4$ の部分を調べる。

$x^2 - 3x + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 \geq 0$ より、 $(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4} \geq \frac{7}{4} > 0$

したがって、$x^2 - 3x + 4 > 0$ である。

問題文より、$x \geq 0$ である。

$x^2 - 3x + 4 > 0$ と $x \geq 0$ より、$x(x^2 - 3x + 4) \geq 0$ が成り立つ。

したがって、$x^3 + 4x \geq 3x^2$ は証明された。

等号が成り立つのは、$x(x^2 - 3x + 4) = 0$ のときである。

$x^2 - 3x + 4 > 0$ より、$x = 0$ のとき等号が成り立つ。

3. 最終的な答え

不等式 $x^3 + 4x \geq 3x^2$ は証明された。

等号が成り立つのは $x = 0$ のときである。