関数 $f(x) = x^2 - 6x + 10$ について、$0 \leq x \leq a$ ($a$ は正の定数) における最小値と最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 6x + 10$ について、$0 \leq x \leq a$ ($a$ は正の定数) における最小値と最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 - 9 + 10 = (x - 3)^2 + 1$

この関数は下に凸な放物線であり、頂点の座標は $(3, 1)$ です。

定義域は $0 \leq x \leq a$ です。最小値と最大値は、$a$ の値によって変化します。

(1) 最小値を求める

頂点 $x=3$ が定義域に含まれるか否かで場合分けします。

(i) $0 < a \leq 3$ のとき、最小値は $f(a) = a^2 - 6a + 10$

(ii) $a > 3$ のとき、最小値は $f(3) = 1$

(2) 最大値を求める

$x = 0$ と $x = a$ のどちらが頂点から遠いかで場合分けします。

$x = 3$ は放物線の軸なので、$x = 0$ と $x = a$ のうち、軸から遠い方で最大値をとります。

$x = 0$ と $x = a$ の中点は $a/2$ です。

もし $a/2 < 3$、つまり $a < 6$ ならば、$x=0$ の方が軸から遠く、$x = 0$ で最大値をとります。

もし $a/2 > 3$、つまり $a > 6$ ならば、$x = a$ の方が軸から遠く、$x = a$ で最大値をとります。

もし $a/2 = 3$、つまり $a = 6$ ならば、$x = 0$ と $x = a$ のどちらでも同じ最大値をとります。

(i) $0 < a < 6$ のとき、最大値は $f(0) = 0^2 - 6(0) + 10 = 10$

(ii) $a = 6$ のとき、最大値は $f(0) = f(6) = 10$

(iii) $a > 6$ のとき、最大値は $f(a) = a^2 - 6a + 10$

まとめると、

- 最小値

- $0 < a \leq 3$ のとき、$f(a) = a^2 - 6a + 10$

- $a > 3$ のとき、$f(3) = 1$

- 最大値

- $0 < a \leq 6$ のとき、$f(0) = 10$

- $a > 6$ のとき、$f(a) = a^2 - 6a + 10$

3. 最終的な答え

最小値:

- $0 < a \leq 3$ のとき、$a^2 - 6a + 10$

- $a > 3$ のとき、$1$

最大値:

- $0 < a \leq 6$ のとき、$10$

- $a > 6$ のとき、$a^2 - 6a + 10$