$a = \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ および $b = \frac{1}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ が与えられたとき、$a \times b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a = \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ および $b = \frac{1}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ が与えられたとき、$a \times b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$a \times b$ を計算します。

$a \times b = \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{6}} \times \frac{1}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

$a \times b = \frac{1}{(1 + \sqrt{6} + \sqrt{2})(1 + \sqrt{6} - \sqrt{2})}$

分母を $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$ の形に変形します。ここで $A = 1 + \sqrt{6}$ 、$B = \sqrt{2}$です。

$a \times b = \frac{1}{(1 + \sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$a \times b = \frac{1}{(1 + 2\sqrt{6} + 6) - 2}$

$a \times b = \frac{1}{7 + 2\sqrt{6} - 2}$

$a \times b = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}}$

分母を有理化するために、分母と分子に $5 - 2\sqrt{6}$ を掛けます。

$a \times b = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})}$

$a \times b = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - (2\sqrt{6})^2}$

$a \times b = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - 4 \times 6}$

$a \times b = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24}$

$a \times b = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{1}$

$a \times b = 5 - 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$5 - 2\sqrt{6}$