方程式 $3x + 5y = 45$ を満たす自然数 $x, y$ の組 $(x, y)$ を全て求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $3x + 5y = 45$ を満たす自然数 $x, y$ の組 $(x, y)$ を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $y$ について解きます。

$3x + 5y = 45$

$5y = 45 - 3x$

$y = \frac{45 - 3x}{5}$

$y$ は自然数である必要があるので、$45 - 3x$ は $5$ で割り切れる必要があります。

つまり、$45 - 3x$ は $5$ の倍数でなければなりません。

言い換えると、$45 - 3x > 0$ かつ $45-3x \equiv 0 \pmod{5}$ である必要があります。

$x$ と $y$ は自然数なので、$x > 0$ かつ $y > 0$ である必要があります。

$y > 0$ より、$\frac{45 - 3x}{5} > 0$ なので、$45 - 3x > 0$ となります。

$3x < 45$

$x < 15$

$x$ は自然数なので、$x$ は $1$ から $14$ までの整数です。

$45 - 3x$ が $5$ で割り切れる条件を調べます。

$45$ は $5$ で割り切れるので、$3x$ が $5$ で割り切れる必要があります。

$3$ と $5$ は互いに素なので、$x$ が $5$ で割り切れる必要があります。

したがって、$x$ は $5$ の倍数でなければなりません。また、$x < 15$ でなければなりません。

$x$ の候補は $5$ と $10$ です。

$x = 5$ のとき

$y = \frac{45 - 3(5)}{5} = \frac{45 - 15}{5} = \frac{30}{5} = 6$

$x = 10$ のとき

$y = \frac{45 - 3(10)}{5} = \frac{45 - 30}{5} = \frac{15}{5} = 3$

したがって、$(x, y) = (5, 6), (10, 3)$ が解となります。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (5, 6), (10, 3)$