2次不等式 $9x^2 + 30x + 14 < 0$ を解き、解答欄の空欄「ウ」、「エ」、「オ」、「カ」に当てはまる数を答える問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $9x^2 + 30x + 14 < 0$ を解き、解答欄の空欄「ウ」、「エ」、「オ」、「カ」に当てはまる数を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次不等式 $9x^2 + 30x + 14 < 0$ の左辺の2次式を因数分解します。

$9x^2 + 30x + 14 = (3x+2)(3x+7)$

したがって、不等式は

$(3x+2)(3x+7) < 0$

となります。

この不等式を満たす$x$の範囲を求めるには、$3x+2$と$3x+7$の符号を調べます。

$3x+2 = 0$ となるのは $x = -\frac{2}{3}$

$3x+7 = 0$ となるのは $x = -\frac{7}{3}$

です。

$-\frac{7}{3} < -\frac{2}{3}$ なので、

$x < -\frac{7}{3}$ のとき、$3x+2<0$ かつ $3x+7<0$ となり、$(3x+2)(3x+7) > 0$

$-\frac{7}{3} < x < -\frac{2}{3}$ のとき、$3x+2<0$ かつ $3x+7>0$ となり、$(3x+2)(3x+7) < 0$

$x > -\frac{2}{3}$ のとき、$3x+2>0$ かつ $3x+7>0$ となり、$(3x+2)(3x+7) > 0$

したがって、不等式 $(3x+2)(3x+7) < 0$ を満たすのは $-\frac{7}{3} < x < -\frac{2}{3}$ です。

これを問題文の形式に合わせると、

$-\frac{7}{3} < x < -\frac{2}{3}$

は、

$\frac{-5 - \sqrt{9}}{3} < x < \frac{-5 + \sqrt{9}}{3}$

と変形できます。これは、解の公式を用いて $9x^2+30x+14=0$ の解を求めたことになります。

解の公式は、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

なので、$9x^2+30x+14=0$ に適用すると、

$x = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \cdot 9 \cdot 14}}{2 \cdot 9} = \frac{-30 \pm \sqrt{900 - 504}}{18} = \frac{-30 \pm \sqrt{396}}{18} = \frac{-30 \pm 6\sqrt{11}}{18} = \frac{-5 \pm \sqrt{11}}{3}$

となります。

したがって、

$-\frac{5 + \sqrt{11}}{3} < x < \frac{-5 + \sqrt{11}}{3}$

問題文に合うように式変形をします。

$9x^2 + 30x + 14<0$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 14}}{3} = \frac{-5 \pm \sqrt{11}}{3}$

したがって、$\frac{-5-\sqrt{11}}{3} < x < \frac{-5+\sqrt{11}}{3}$

ウ = 5, エオ = 11, カ = 3

3. 最終的な答え

ウ = 5

エオ = 11

カ = 3