2次方程式 $2x^2 + 4x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $\alpha \beta$ (2) $\alpha^2 + \beta^2$ (3) $\alpha^3 + \beta^3$ (4) $(\alpha - \beta)^2$

## 問題31

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 4x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。

(1) $\alpha \beta$

(2) $\alpha^2 + \beta^2$

(3) $\alpha^3 + \beta^3$

(4) $(\alpha - \beta)^2$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解 $\alpha$, $\beta$ について、解と係数の関係より、以下が成り立ちます。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

これらを利用して、与えられた式の値を求めます。

まず、与えられた2次方程式 $2x^2 + 4x - 5 = 0$ について、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{4}{2} = -2$

$\alpha \beta = \frac{-5}{2} = -\frac{5}{2}$

(1) $\alpha \beta = -\frac{5}{2}$

(2) $\alpha^2 + \beta^2$ を求めるために、$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha \beta + \beta^2$ を利用します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (-2)^2 - 2(-\frac{5}{2}) = 4 + 5 = 9$

(3) $\alpha^3 + \beta^3$ を求めるために、$(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2 \beta + 3\alpha \beta^2 + \beta^3$ を利用します。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta) = (-2)^3 - 3(-\frac{5}{2})(-2) = -8 - 15 = -23$

(4) $(\alpha - \beta)^2$ を求めるために、$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha \beta + \beta^2 = \alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha \beta$ を利用します。

$(\alpha - \beta)^2 = 9 - 2(-\frac{5}{2}) = 9 + 5 = 14$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha \beta = -\frac{5}{2}$

(2) $\alpha^2 + \beta^2 = 9$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 = -23$

(4) $(\alpha - \beta)^2 = 14$

## 問題32

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x + m = 0$ の2つの解が以下の条件を満たすとき、定数 $m$ の値を求めます。

(1) 1つの解が他の解の2倍である

(2) 2つの解の差が1である

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解 $\alpha$, $\beta$ について、解と係数の関係より、以下が成り立ちます。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

これらを利用して、$m$ の値を求めます。

まず、与えられた2次方程式 $x^2 - 4x + m = 0$ について、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{-4}{1} = 4$

$\alpha \beta = \frac{m}{1} = m$

(1) 1つの解が他の解の2倍であるとき、$\beta = 2\alpha$ とします。

$\alpha + \beta = \alpha + 2\alpha = 3\alpha = 4$

$\alpha = \frac{4}{3}$

$\beta = 2\alpha = \frac{8}{3}$

$m = \alpha \beta = \frac{4}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{9}$

(2) 2つの解の差が1であるとき、$\beta - \alpha = 1$ とします。

$\alpha + \beta = 4$

$\beta = 4 - \alpha$

$(4 - \alpha) - \alpha = 1$

$4 - 2\alpha = 1$

$2\alpha = 3$

$\alpha = \frac{3}{2}$

$\beta = 4 - \alpha = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

$m = \alpha \beta = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $m = \frac{32}{9}$

(2) $m = \frac{15}{4}$

## 問題33

1. 問題の内容

次の2次式を、複素数の範囲で因数分解します。

(1) $9x^2 - 6x - 2$

(2) $2x^2 - x + 3$

2. 解き方の手順

2次式 $ax^2 + bx + c$ の解を求めるために、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を利用します。

解を $\alpha$, $\beta$ とすると、2次式は $a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。

(1) $9x^2 - 6x - 2 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(9)(-2)}}{2(9)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 72}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{108}}{18} = \frac{6 \pm 6\sqrt{3}}{18} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{3}$

したがって、$9x^2 - 6x - 2 = 9(x - \frac{1 + \sqrt{3}}{3})(x - \frac{1 - \sqrt{3}}{3})$

(2) $2x^2 - x + 3 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 24}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{-23}}{4} = \frac{1 \pm i\sqrt{23}}{4}$

したがって、$2x^2 - x + 3 = 2(x - \frac{1 + i\sqrt{23}}{4})(x - \frac{1 - i\sqrt{23}}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $9(x - \frac{1 + \sqrt{3}}{3})(x - \frac{1 - \sqrt{3}}{3})$

(2) $2(x - \frac{1 + i\sqrt{23}}{4})(x - \frac{1 - i\sqrt{23}}{4})$