$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 - 2ax^2 + 22x + 4b = 0$ が $3-i$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。また、他の解を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた問題の中から、問題44を解きます。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 - 2ax^2 + 22x + 4b = 0$ が $3-i$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。また、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

3次方程式 $x^3 - 2ax^2 + 22x + 4b = 0$ が $3-i$ を解にもつとき、係数が実数であることから、$3+i$ も解にもつ。

したがって、$x = 3-i$ を方程式に代入して、$a, b$ を求め、残りの解を求める。

$x = 3 - i$ を方程式に代入すると、

$(3-i)^3 - 2a(3-i)^2 + 22(3-i) + 4b = 0$

まず、$(3-i)^2$ と $(3-i)^3$ を計算する。

$(3-i)^2 = 3^2 - 2(3)(i) + (i)^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i$

$(3-i)^3 = (3-i)(3-i)^2 = (3-i)(8-6i) = 3(8) + 3(-6i) - i(8) -i(-6i) = 24 - 18i - 8i + 6i^2 = 24 - 26i - 6 = 18 - 26i$

これらを代入して整理する。

$(18 - 26i) - 2a(8 - 6i) + 22(3 - i) + 4b = 0$

$18 - 26i - 16a + 12ai + 66 - 22i + 4b = 0$

$(18 - 16a + 66 + 4b) + (-26 + 12a - 22)i = 0$

$(84 - 16a + 4b) + (12a - 48)i = 0$

実部と虚部がそれぞれ0である必要があるので、

$84 - 16a + 4b = 0$ ...(1)

$12a - 48 = 0$ ...(2)

(2)より $12a = 48$, よって $a = 4$

(1)に $a=4$ を代入すると、

$84 - 16(4) + 4b = 0$

$84 - 64 + 4b = 0$

$20 + 4b = 0$

$4b = -20$

$b = -5$

したがって、$a = 4$, $b = -5$

方程式は $x^3 - 8x^2 + 22x - 20 = 0$ となる。

$x = 3-i, 3+i$ を解にもつので、$(x - (3-i))(x - (3+i)) = (x-3+i)(x-3-i) = (x-3)^2 - i^2 = x^2 - 6x + 9 + 1 = x^2 - 6x + 10$ で割り切れる。

$x^3 - 8x^2 + 22x - 20 = (x^2 - 6x + 10)(x-2)$

したがって、残りの解は $x = 2$

3. 最終的な答え

$a = 4$, $b = -5$

他の解は $x = 2, 3+i$