(1) $a=2^{\frac{1}{2}}$、$b=3^{\frac{1}{3}}$、$c=5^{\frac{1}{5}}$ の大小を比較する。 (2) $x, y, z$ は正の実数で、$2^x = 3^y = 5^z$ が成立するとき、$2x$, $3y$, $5z$ の大小を求める。

1. 問題の内容

(1) $a=2^{\frac{1}{2}}$、$b=3^{\frac{1}{3}}$、$c=5^{\frac{1}{5}}$ の大小を比較する。

(2) $x, y, z$ は正の実数で、$2^x = 3^y = 5^z$ が成立するとき、$2x$, $3y$, $5z$ の大小を求める。

2. 解き方の手順

(1) 指数を消去するために、それぞれの数を6乗する。

$a^6 = (2^{\frac{1}{2}})^6 = 2^3 = 8$

$b^6 = (3^{\frac{1}{3}})^6 = 3^2 = 9$

$c^6 = (5^{\frac{1}{5}})^6 = 5^{\frac{6}{5}} = 5 \cdot 5^{\frac{1}{5}} = 5 \sqrt[5]{5}$

ここで、$1 < \sqrt[5]{5} < 2$ なので、$5 < 5\sqrt[5]{5} < 10$。 より精密に見積もると$5^1 = 5$, $5^2 = 25$ なので、$\sqrt[5]{5}$は1に近い値であると予想できる。実際、$\sqrt[5]{5} \approx 1.38$ であり、$c^6 \approx 5 \times 1.38 = 6.9$ となる。

よって、$a^6 > c^6$ であり、$a>c$ である。

しかし、$a^6=8$, $b^6=9$ より、$b^6 > a^6$ なので、$b>a$ である。

したがって、$b>a>c$ と予想できる。

各数を30乗することを考える。

$a^{30} = (2^{\frac{1}{2}})^{30} = 2^{15} = 32768$

$b^{30} = (3^{\frac{1}{3}})^{30} = 3^{10} = 59049$

$c^{30} = (5^{\frac{1}{5}})^{30} = 5^6 = 15625$

(2) $2^x = 3^y = 5^z = k$ とおく。ただし $k>0$ である。

すると、$2 = k^{\frac{1}{x}}$, $3 = k^{\frac{1}{y}}$, $5 = k^{\frac{1}{z}}$ である。

ここで、$2^x = 3^y = 5^z$ の両辺の対数をとると、

$x\log 2 = y\log 3 = z \log 5$

ここで、すべての値は正である。

$2^x = 3^y = 5^z = k$ より、

$x = \log_2 k$, $y = \log_3 k$, $z = \log_5 k$ となる。

したがって、$2x = 2 \log_2 k = \log_2 k^2$

$3y = 3 \log_3 k = \log_3 k^3$

$5z = 5 \log_5 k = \log_5 k^5$

真数の大小を比べる。

$2^x = 3^y = 5^z = A$ とおく。

$x \log 2 = \log A$, $x = \frac{\log A}{\log 2}$

$y \log 3 = \log A$, $y = \frac{\log A}{\log 3}$

$z \log 5 = \log A$, $z = \frac{\log A}{\log 5}$

$2x = 2 \frac{\log A}{\log 2}$, $3y = 3 \frac{\log A}{\log 3}$, $5z = 5 \frac{\log A}{\log 5}$

$\frac{2}{\log 2} \approx \frac{2}{0.301} = 6.64$

$\frac{3}{\log 3} \approx \frac{3}{0.477} = 6.29$

$\frac{5}{\log 5} \approx \frac{5}{0.699} = 7.15$

よって、$5z > 2x > 3y$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $b > a > c$

(2) $5z > 2x > 3y$