$a, b$ を実数とし、$x$ についての2次方程式 $(2a+4b-2)x^2 + (5a+11)x - b - 8 = 0$ を考える。 (1) $a = 1$ のとき、方程式の左辺を $b$ について整理し、因数分解を完成させる。 (2) $b = 2$ のとき、方程式の左辺を因数分解する。

1. 問題の内容

$a, b$ を実数とし、$x$ についての2次方程式

$(2a+4b-2)x^2 + (5a+11)x - b - 8 = 0$

を考える。

(1) $a = 1$ のとき、方程式の左辺を $b$ について整理し、因数分解を完成させる。

(2) $b = 2$ のとき、方程式の左辺を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $a = 1$ を代入すると、方程式は

$(2 + 4b - 2)x^2 + (5 + 11)x - b - 8 = 0$

$4bx^2 + 16x - b - 8 = 0$

$b(4x^2 - 1) + 16x - 8 = 0$

$4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$, $16x - 8 = 8(2x - 1)$ なので、

$b(2x - 1)(2x + 1) + 8(2x - 1) = 0$

$(2x - 1)\{b(2x + 1) + 8\} = 0$

$(2x - 1)(2bx + b + 8) = 0$

よって、$ア = 2$, $イ = 8$

(2) $b = 2$ を代入すると、方程式は

$(2a + 8 - 2)x^2 + (5a + 11)x - 2 - 8 = 0$

$(2a + 6)x^2 + (5a + 11)x - 10 = 0$

$2(a + 3)x^2 + (5a + 11)x - 10 = 0$

これを因数分解することを考える。定数項が-10なので、因数の候補は $(x \pm 1), (x \pm 2), (x \pm 5), (x \pm 10)$などである。

$(ux + v)\{(a+w)x - z\}$ の形になるとして，展開すると

$u(a+w)x^2 + (v(a+w) - uz)x - vz$

$u(a+w) = 2(a+3)$

$u=2$, $w=3$, $v=5$, $z=2$とすると

$10=vz$

$(v(a+w) - uz) = 5a+15-4=5a+11$

よって，

$(2x+5)\{(a+3)x-2\}=0$

3. 最終的な答え

ア：2

イ：8

ウ：2

エ：5

オ：3

カ：2