$a, b$ を実数とする。$x$ についての方程式 $(2a+4b-2)x^2 + (5a+11)x -b - 8 = 0$ を考える。 (1) $a=1$ とする。$b$ に着目すると、①の左辺は $(4x^2 - 1)b + 16x - 8$ と表せる。よって、②を因数分解すると $(2x-1)(ア bx + b + イ)$ となる。 (2) $b=2$ とする。(i) ①の左辺を因数分解すると $(ウ x + エ)((a+オ)x - カ)$ となる。(ii) $a=2\sqrt{2}$ のとき、①の解は $x = -\frac{エ}{ウ}, キ - ク\sqrt{2}$ である。

1. 問題の内容

$a, b$ を実数とする。$x$ についての方程式 $(2a+4b-2)x^2 + (5a+11)x -b - 8 = 0$ を考える。

(1) $a=1$ とする。$b$ に着目すると、①の左辺は $(4x^2 - 1)b + 16x - 8$ と表せる。よって、②を因数分解すると $(2x-1)(ア bx + b + イ)$ となる。

(2) $b=2$ とする。(i) ①の左辺を因数分解すると $(ウ x + エ)((a+オ)x - カ)$ となる。(ii) $a=2\sqrt{2}$ のとき、①の解は $x = -\frac{エ}{ウ}, キ - ク\sqrt{2}$ である。

2. 解き方の手順

(1)

$a=1$を$(2a+4b-2)x^2+(5a+11)x-b-8=0$に代入すると、

$(2+4b-2)x^2+(5+11)x-b-8=0$

$4bx^2+16x-b-8=0$

$4bx^2-b+16x-8=0$

$(4x^2-1)b+16x-8=0$

ここで、$4x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1)$ であり、$16x-8 = 8(2x-1)$ であるから、

$(2x-1)(2x+1)b + 8(2x-1) = 0$

$(2x-1)((2x+1)b + 8) = 0$

$(2x-1)(2bx + b + 8) = 0$

したがって、アは 2、イは 8 である。

(2)

(i) $b=2$ を $(2a+4b-2)x^2 + (5a+11)x - b - 8 = 0$ に代入すると、

$(2a+8-2)x^2 + (5a+11)x - 2 - 8 = 0$

$(2a+6)x^2 + (5a+11)x - 10 = 0$

$(2x+5)((a+3)x - 2) = 0$

$2(a+3)x^2 + (5a+15-4)x - 10 = 0$

$(2a+6)x^2 + (5a+11)x - 10 = 0$

したがって、ウは 2、エは 5、オは 3、カは 2 である。

(ii) $a=2\sqrt{2}$を$(2a+6)x^2 + (5a+11)x - 10 = 0$に代入すると、

$(4\sqrt{2}+6)x^2 + (10\sqrt{2}+11)x - 10 = 0$

$(2x+5)((2\sqrt{2}+3)x - 2) = 0$

$x = -\frac{5}{2}$ or $x = \frac{2}{2\sqrt{2}+3} = \frac{2(2\sqrt{2}-3)}{(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)} = \frac{2(2\sqrt{2}-3)}{8-9} = \frac{2(2\sqrt{2}-3)}{-1} = -4\sqrt{2}+6$

よって、 $x = -\frac{5}{2}, 6-4\sqrt{2}$ となる。

したがって、キは 6、クは 4 である。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：8

ウ：2

エ：5

オ：3

カ：2

キ：6

ク：4