与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。2次関数のグラフである放物線の頂点の座標と、通る点の座標がそれぞれ与えられているので、それらを用いて2次関数の式を決定します。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。2次関数のグラフである放物線の頂点の座標と、通る点の座標がそれぞれ与えられているので、それらを用いて2次関数の式を決定します。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が $(2, -3)$ で、点 $(0, 1)$ を通る場合:

頂点の座標が $(h, k)$ である2次関数は、一般的に $y = a(x - h)^2 + k$ と表されます。

この問題では、頂点が $(2, -3)$ なので、2次関数は $y = a(x - 2)^2 - 3$ と表せます。

この放物線は点 $(0, 1)$ を通るので、$x = 0$、 $y = 1$ を代入して、$a$ の値を求めます。

$1 = a(0 - 2)^2 - 3$

$1 = 4a - 3$

$4a = 4$

$a = 1$

したがって、求める2次関数は $y = (x - 2)^2 - 3$ です。

展開して整理すると、$y = x^2 - 4x + 4 - 3 = x^2 - 4x + 1$ となります。

(2) 頂点が $(-1, 2)$ で、点 $(1, 10)$ を通る場合:

頂点の座標が $(-1, 2)$ なので、2次関数は $y = a(x + 1)^2 + 2$ と表せます。

この放物線は点 $(1, 10)$ を通るので、$x = 1$、$y = 10$ を代入して、$a$ の値を求めます。

$10 = a(1 + 1)^2 + 2$

$10 = 4a + 2$

$4a = 8$

$a = 2$

したがって、求める2次関数は $y = 2(x + 1)^2 + 2$ です。

展開して整理すると、$y = 2(x^2 + 2x + 1) + 2 = 2x^2 + 4x + 2 + 2 = 2x^2 + 4x + 4$ となります。

(3) 頂点が $(-2, -4)$ で、点 $(-3, -7)$ を通る場合:

頂点の座標が $(-2, -4)$ なので、2次関数は $y = a(x + 2)^2 - 4$ と表せます。

この放物線は点 $(-3, -7)$ を通るので、$x = -3$、$y = -7$ を代入して、$a$ の値を求めます。

$-7 = a(-3 + 2)^2 - 4$

$-7 = a( -1 )^2 - 4$

$-7 = a - 4$

$a = -3$

したがって、求める2次関数は $y = -3(x + 2)^2 - 4$ です。

展開して整理すると、$y = -3(x^2 + 4x + 4) - 4 = -3x^2 - 12x - 12 - 4 = -3x^2 - 12x - 16$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 4x + 1$

(2) $y = 2x^2 + 4x + 4$

(3) $y = -3x^2 - 12x - 16$