複素数 $\alpha$ と $\beta$ が与えられた条件 $\beta^2 - 2\alpha\beta + 4\alpha^2 = 0$ を満たすとき、$z = \frac{\beta}{\alpha}$ の値を求め、さらに $z$ の虚部が正である場合について、$z$ を極形式で表し、三角形OABの形状を決定する問題です。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ と $\beta$ が与えられた条件 $\beta^2 - 2\alpha\beta + 4\alpha^2 = 0$ を満たすとき、$z = \frac{\beta}{\alpha}$ の値を求め、さらに $z$ の虚部が正である場合について、$z$ を極形式で表し、三角形OABの形状を決定する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\beta^2 - 2\alpha\beta + 4\alpha^2 = 0$ の両辺を $\alpha^2$ で割ると、

$(\frac{\beta}{\alpha})^2 - 2\frac{\beta}{\alpha} + 4 = 0$

となります。$z = \frac{\beta}{\alpha}$ とおくと、

$z^2 - 2z + 4 = 0$

これを解くと、解の公式より

$z = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

したがって、$z = 1 \pm \sqrt{3}i$ です。

(2) $z$ の虚部が正であるとき、$z = 1 + \sqrt{3}i$ です。

$z$ を極形式で表すと、

$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\arg z = \theta$ とすると、

$\cos \theta = \frac{1}{2}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、$z = 2 (\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})$ です。

(3) $z = \frac{\beta}{\alpha}$ より、$\beta = z\alpha$ ですから、$\beta = (1 + \sqrt{3}i)\alpha = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})\alpha$ です。

これは、$\alpha$ を原点中心に $\frac{\pi}{3}$ 回転させ、さらに 2 倍したものが $\beta$ であることを意味します。

したがって、三角形OABは OA = $\alpha$, OB = $\beta = 2\alpha e^{i\pi/3}$ より、

OA:OB = 1:2 で、$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$ であるから、三角形OABは$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$の不等辺三角形である。

すなわち、 $\angle AOB = 60^\circ$, OA:OB = 1:2 の三角形です。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 3

ウ: 2

エ: 3

オ: 不等辺三角形