$a$, $b$, $c$ は実数である。次の条件の中で、$a > b$ と同値な条件をすべて選ぶ。 1. $a^2 > b^2$

## 問題39

1. 問題の内容

$a$, $b$, $c$ は実数である。次の条件の中で、$a > b$ と同値な条件をすべて選ぶ。

1. $a^2 > b^2$

2. $a - c > b - c$

3. $a - b > 0$

2. 解き方の手順

1. $a^2 > b^2$ について:

$a^2 > b^2$ は $|a| > |b|$ を意味します。例えば、$a = -3$, $b = 2$ の場合、$a > b$ は成り立ちませんが、$a^2 = 9 > b^2 = 4$ となり、$a^2 > b^2$ は成り立ちます。また、$a=3$, $b = -4$ の場合、$a^2 = 9 < b^2 = 16$となりますが、$a > b$なので成り立ちません。したがって、$a^2 > b^2$ は $a > b$ と同値ではありません。

2. $a - c > b - c$ について:

$a - c > b - c$ の両辺に $c$ を加えると、$a > b$ となります。逆に、$a > b$ の両辺から $c$ を引くと、$a - c > b - c$ となります。したがって、$a - c > b - c$ は $a > b$ と同値です。

3. $a - b > 0$ について:

$a - b > 0$ に $b$ を足すと、$a > b$ となります。逆に、$a > b$ から $b$ を引くと、$a - b > 0$ となります。したがって、$a - b > 0$ は $a > b$ と同値です。

3. 最終的な答え

2と3

## 問題40

1. 問題の内容

$x$, $y$ は実数とする。次の文の空欄に「必要」、「十分」、「必要十分」のうち、最も適する言葉を入れる。

1. $x = -2$ は、$x^2 = 4$ であるための \_\_\_\_ 条件である。

2. $xy > 0$ は、$x > 0$ かつ $y > 0$ であるための \_\_\_\_ 条件である。

3. $x = y = 2$ は、$2x - y = 2y - x = 2$ であるための \_\_\_\_ 条件である。

2. 解き方の手順

1. $x = -2$ は、$x^2 = 4$ であるための \_\_\_\_ 条件である。

$x = -2$ ならば $x^2 = (-2)^2 = 4$ なので、$x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための十分条件です。

しかし、$x^2 = 4$ ならば $x = 2$ または $x = -2$ なので、$x^2 = 4$ は $x = -2$ であるための必要条件ではありません。

したがって、$x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための十分条件である。

2. $xy > 0$ は、$x > 0$ かつ $y > 0$ であるための \_\_\_\_ 条件である。

$x > 0$ かつ $y > 0$ ならば $xy > 0$ なので、$x > 0$ かつ $y > 0$ は $xy > 0$ であるための十分条件です。

しかし、$xy > 0$ は $x > 0$ かつ $y > 0$ だけではなく、$x < 0$ かつ $y < 0$ の場合もあります。したがって、$xy > 0$ は $x > 0$ かつ $y > 0$ であるための必要条件ではありません。

したがって、$x>0$ かつ $y>0$ は $xy>0$ であるための十分条件である。

3. $x = y = 2$ は、$2x - y = 2y - x = 2$ であるための \_\_\_\_ 条件である。

$x = y = 2$ のとき、$2x - y = 2(2) - 2 = 2$ かつ $2y - x = 2(2) - 2 = 2$ なので、$2x - y = 2y - x = 2$ が成り立ちます。したがって、$x = y = 2$ は $2x - y = 2y - x = 2$ であるための十分条件です。

$2x - y = 2$ かつ $2y - x = 2$ のとき、これらの式を連立させて解くと、

$2x - y = 2$

$2y - x = 2$

上の式を2倍して下の式を足すと、

$4x - 2y + 2y - x = 4 + 2$

$3x = 6$

$x = 2$

$x = 2$ を $2x - y = 2$ に代入すると、$2(2) - y = 2$ より、$4 - y = 2$ なので、$y = 2$。

したがって、$x = y = 2$。つまり、$2x - y = 2y - x = 2$ ならば $x = y = 2$ なので、$2x - y = 2y - x = 2$ は $x = y = 2$ であるための必要条件です。

十分条件かつ必要条件なので、$x = y = 2$ は $2x - y = 2y - x = 2$ であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

1. 十分

2. 十分

3. 必要十分