放物線 $y = 2x^2 - 3x + 1$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動すると、 $y$ 軸と点 $(0, 4)$ で交わった。このときの $p$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 3x + 1$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動すると、 $y$ 軸と点 $(0, 4)$ で交わった。このときの $p$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^2 - 3x + 1$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した後の式を求めます。

$x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動するには、$x$ を $x - p$ で置き換えます。

$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動するには、$y$ を $y + 2$ で置き換えます。

よって、平行移動後の放物線の方程式は、

$y + 2 = 2(x - p)^2 - 3(x - p) + 1$

となります。この式を $y =$ の形にすると、

$y = 2(x - p)^2 - 3(x - p) + 1 - 2$

$y = 2(x^2 - 2px + p^2) - 3x + 3p - 1$

$y = 2x^2 - 4px + 2p^2 - 3x + 3p - 1$

$y = 2x^2 - (4p + 3)x + 2p^2 + 3p - 1$

この放物線が $y$ 軸と点 $(0, 4)$ で交わるということは、 $x = 0$ のとき $y = 4$ となることを意味します。

したがって、上の式に $x = 0, y = 4$ を代入すると、

$4 = 2(0)^2 - (4p + 3)(0) + 2p^2 + 3p - 1$

$4 = 2p^2 + 3p - 1$

$2p^2 + 3p - 5 = 0$

この $p$ に関する二次方程式を解きます。因数分解すると、

$(2p + 5)(p - 1) = 0$

よって、$p = -\frac{5}{2}$ または $p = 1$ となります。

3. 最終的な答え

$p = -\frac{5}{2}, 1$