$(2x-3y+1)^7$ の展開式における $xy$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(2x-3y+1)^7$ の展開式における $xy$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を用いて、$xy$ の項がどのように現れるかを考えます。

$(2x-3y+1)^7$ の一般項は、

$$\frac{7!}{p!q!r!} (2x)^p (-3y)^q (1)^r$$

ここで、$p+q+r = 7$ です。$xy$ の項を考えるので、$x$ の指数 $p=1$、$y$ の指数 $q=1$ である必要があります。したがって、$r=7-p-q=7-1-1=5$ となります。

$p=1$, $q=1$, $r=5$ を代入すると、

$$\frac{7!}{1!1!5!} (2x)^1 (-3y)^1 (1)^5 = \frac{7 \cdot 6}{1} (2x)(-3y) = 42 \cdot (-6)xy = -252xy$$

したがって、$xy$ の項の係数は $-252$ です。

3. 最終的な答え

-252