問題1：$(x^2 + 2x - 3)^6$ の展開式における $x^5$ の係数を求めよ。 問題2：$\left(x^2 - \frac{1}{3x}\right)^{30}$ の展開式における $x^{51}$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

問題1：$(x^2 + 2x - 3)^6$ の展開式における $x^5$ の係数を求めよ。

問題2：$\left(x^2 - \frac{1}{3x}\right)^{30}$ の展開式における $x^{51}$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1：

$(x^2 + 2x - 3)^6$ を展開し、$x^5$ の項の係数を求める。

まず、$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$ と因数分解できるが、展開は面倒なので、多項定理を用いる。

$(x^2 + 2x - 3)^6$ を一般項で表すと

$$\frac{6!}{p!q!r!} (x^2)^p (2x)^q (-3)^r$$

ここで、$p+q+r = 6$ かつ $p, q, r$ は0以上の整数。

$x^5$ の項を求めるためには、

$$2p + q = 5$$

となる $p, q, r$ の組み合わせを探す。

$p, q, r$ は0以上の整数なので、考えられる組み合わせは

(i) $p=0, q=5, r=1$

(ii) $p=1, q=3, r=2$

(iii) $p=2, q=1, r=3$

それぞれの組み合わせにおける係数を計算する。

(i) $\frac{6!}{0!5!1!} (x^2)^0 (2x)^5 (-3)^1 = 6 \cdot 1 \cdot 32x^5 \cdot (-3) = -576 x^5$

(ii) $\frac{6!}{1!3!2!} (x^2)^1 (2x)^3 (-3)^2 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{2} \cdot x^2 \cdot 8x^3 \cdot 9 = 60 \cdot 72 x^5 = 4320 x^5$

(iii) $\frac{6!}{2!1!3!} (x^2)^2 (2x)^1 (-3)^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{2} \cdot x^4 \cdot 2x \cdot (-27) = 60 \cdot (-54) x^5 = -3240 x^5$

したがって、$x^5$ の係数は $-576 + 4320 - 3240 = 504$

問題2：

$\left(x^2 - \frac{1}{3x}\right)^{30}$ の展開式における $x^{51}$ の係数を求める。

二項定理より、

$$\left(x^2 - \frac{1}{3x}\right)^{30} = \sum_{k=0}^{30} {}_{30}C_k (x^2)^{30-k} \left(-\frac{1}{3x}\right)^k = \sum_{k=0}^{30} {}_{30}C_k \left(-\frac{1}{3}\right)^k x^{60-2k-k} = \sum_{k=0}^{30} {}_{30}C_k \left(-\frac{1}{3}\right)^k x^{60-3k}$$

$x^{51}$ の係数を求めるには、

$$60 - 3k = 51$$

となる $k$ を探す。

$$3k = 9$$

$$k = 3$$

したがって、$x^{51}$ の係数は

$${}_{30}C_3 \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \left(-\frac{1}{27}\right) = 10 \cdot 29 \cdot 14 \cdot \left(-\frac{1}{27}\right) = \frac{4060}{1} \cdot \left(-\frac{1}{27}\right) = -\frac{4060}{27}$$

3. 最終的な答え

問題1：504

問題2：$-\frac{4060}{27}$