$x + 2y - z = 0$ と $3x - y + z = 1$ を満たすすべての $x, y, z$ に対して、$ax^2 + by^2 + cz^2 = 1$ が成り立つように、定数 $a, b, c$ の値を定める。

1. 問題の内容

$x + 2y - z = 0$ と $3x - y + z = 1$ を満たすすべての $x, y, z$ に対して、$ax^2 + by^2 + cz^2 = 1$ が成り立つように、定数 $a, b, c$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、$x + 2y - z = 0$ より $z = x + 2y$。これを $3x - y + z = 1$ に代入して、

$3x - y + (x + 2y) = 1$

$4x + y = 1$

$y = 1 - 4x$

したがって、$z = x + 2(1 - 4x) = x + 2 - 8x = 2 - 7x$

$x, y, z$ を $x$ で表すと、

$x = x$

$y = 1 - 4x$

$z = 2 - 7x$

これらを $ax^2 + by^2 + cz^2 = 1$ に代入すると、

$ax^2 + b(1 - 4x)^2 + c(2 - 7x)^2 = 1$

$ax^2 + b(1 - 8x + 16x^2) + c(4 - 28x + 49x^2) = 1$

$ax^2 + b - 8bx + 16bx^2 + 4c - 28cx + 49cx^2 = 1$

$(a + 16b + 49c)x^2 + (-8b - 28c)x + (b + 4c) = 1$

この式がすべての $x$ について成り立つには、以下の条件を満たす必要がある。

$a + 16b + 49c = 0$ ...(1)

$-8b - 28c = 0$ ...(2)

$b + 4c = 1$ ...(3)

式(2)より、$8b = -28c$ なので、$b = -\frac{28}{8}c = -\frac{7}{2}c$。

式(3)に代入して、

$-\frac{7}{2}c + 4c = 1$

$-\frac{7}{2}c + \frac{8}{2}c = 1$

$\frac{1}{2}c = 1$

$c = 2$

$b = -\frac{7}{2}(2) = -7$

式(1)に代入して、

$a + 16(-7) + 49(2) = 0$

$a - 112 + 98 = 0$

$a - 14 = 0$

$a = 14$

3. 最終的な答え

$a = 14$, $b = -7$, $c = 2$