数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{3a_n}{6a_n + 1}$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{3a_n}{6a_n + 1}$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸化式の逆数をとります。

\[

\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{6a_n + 1}{3a_n} = 2 + \frac{1}{3a_n}

\]

次に、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、

\[

b_{n+1} = 2 + \frac{1}{3} b_n

\]

\[

b_{n+1} - 3 = \frac{1}{3} b_n - 1 = \frac{1}{3} (b_n - 3)

\]

したがって、数列 $\{b_n - 3\}$ は公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列であり、初項は $b_1 - 3 = \frac{1}{a_1} - 3 = 1 - 3 = -2$ です。

よって、

\[

b_n - 3 = -2 \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}

\]

\[

b_n = 3 - 2 \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}

\]

ここで、$a_n = \frac{1}{b_n}$ なので、

\[

a_n = \frac{1}{3 - 2 \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}}

\]

\[

a_n = \frac{1}{3 - 2 \cdot 3^{1-n}}

\]

\[

a_n = \frac{3^{n-1}}{3^n - 2}

\]

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3^{n-1}}{3^n - 2}$