不等式 $|x-4|<3x$ を、次の手順に従って解く問題です。場合分けをして不等式を解き、共通範囲を求める必要があります。

## 問題の回答

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4. 不等式 $|x-4|<3x$ を解く問題

1. **問題の内容**

不等式 $|x-4|<3x$ を、次の手順に従って解く問題です。場合分けをして不等式を解き、共通範囲を求める必要があります。

2. **解き方の手順**

(i) $x \geq 4$ のとき

$|x-4| = x-4$ なので、不等式は $x-4 < 3x$ となります。

これを解くと、$x > -2$ となります。

$x \geq 4$ と $x > -2$ の共通範囲は、$x \geq 4$ です。

(ii) $x < 4$ のとき

$|x-4| = -(x-4) = 4-x$ なので、不等式は $4-x < 3x$ となります。

これを解くと、$4 < 4x$ より、$x > 1$ となります。

$x < 4$ と $x > 1$ の共通範囲は、$1 < x < 4$ です。

(i), (ii) より、求める解は $x \geq 4$ または $1 < x < 4$ です。

したがって、$x > 1$ です。

3. **最終的な答え**

ス = 4

セソ = -2

タ = 4

チ = 1

ツ = 1

テ = 4

ト = 1

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5. 命題の問題

1. **問題の内容**

命題「$x+y > 2$ ならば $x > 1$ または $y > 1$ である」について、その対偶と真偽を判断する問題です。

2. **解き方の手順**

(1) 命題Ⓐの対偶は、「$x \leq 1$ かつ $y \leq 1$ ならば $x+y \leq 2$ である」です。

対偶は元の命題の結論を否定して仮定にし、仮定を否定して結論にしたものです。

$x>1$ または $y>1$ の否定は $x \leq 1$ かつ $y \leq 1$ です。

$x+y>2$ の否定は $x+y \leq 2$ です。

よって、ナ = 9、ニ = 7。

(2) $x=0$, $y=3$ のとき、$x+y > 2$ は成り立ちますが、$x > 1$ または $y > 1$ は成り立ちます。

$x=1.5$, $y=1.5$ のとき、$x+y > 2$ は成り立ち、$x > 1$ または $y > 1$ は成り立ちます。

一方、$x+y>2$ が成り立つとき、$x>1$ または $y>1$ が成り立たない反例は存在しません。

例えば、$x=0$, $y=0$ のとき、$x \leq 1$ かつ $y \leq 1$ は成り立ちますが、$x+y \leq 2$ は成り立ちます。

したがって、対偶は真です。命題Ⓐの対偶は真であるから、命題Ⓐも真です。

よって、ヌ = 1、ネ = 1。

3. **最終的な答え**

ナ = 9

ニ = 7

ヌ = 1

ネ = 1

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6. 必要条件・十分条件の問題

1. **問題の内容**

$x^2+8x+15=0$ が、$x=-3$ であるための何であるかを判定する問題です。

2. **解き方の手順**

$x^2+8x+15=0$ を解くと、$(x+3)(x+5) = 0$ となるので、$x = -3$ または $x = -5$ です。

$x^2+8x+15=0$ ならば $x=-3$ であるとは限りません。($x=-5$ の場合もあります。)

したがって、$x^2+8x+15=0$ は、$x=-3$ であるための必要条件ではありません。

$x=-3$ ならば $x^2+8x+15=0$ は成り立ちます。

なぜなら、$(-3)^2 + 8(-3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0$ だからです。

したがって、$x=-3$ は、$x^2+8x+15=0$ であるための十分条件です。

したがって、$x^2+8x+15=0$ は、$x=-3$ であるための必要条件ではないが、十分条件である、つまり「十分条件であるが必要条件ではない」にあてはまります。

3. **最終的な答え**

ノ = 3