数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = 1$ と漸化式 $a_{n+1} = \frac{3a_n}{6a_n+1}$ で定義されている。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = 1$ と漸化式 $a_{n+1} = \frac{3a_n}{6a_n+1}$ で定義されている。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式の逆数を取ります。

$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{6a_n + 1}{3a_n} = 2 + \frac{1}{3a_n}$$

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、新しい数列 $\{b_n\}$ の漸化式は次のようになります。

$$b_{n+1} = 2 + \frac{1}{3}b_n$$

この漸化式を変形します。

$$b_{n+1} - 3 = \frac{1}{3}(b_n - 3)$$

ここで、$c_n = b_n - 3$ とおくと、数列 $\{c_n\}$ は公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列となります。

初項 $c_1$ は $c_1 = b_1 - 3 = \frac{1}{a_1} - 3 = \frac{1}{1} - 3 = -2$ です。

したがって、$c_n = c_1 (\frac{1}{3})^{n-1} = -2 (\frac{1}{3})^{n-1}$ となります。

$b_n = c_n + 3$ であるので、$b_n = -2 (\frac{1}{3})^{n-1} + 3$ となります。

最後に、$a_n = \frac{1}{b_n}$ なので、

$$a_n = \frac{1}{3 - 2 (\frac{1}{3})^{n-1}}$$

分母分子に $3^{n-1}$ をかけると

$$a_n = \frac{3^{n-1}}{3^n - 2}$$

3. 最終的な答え

$$a_n = \frac{3^{n-1}}{3^n - 2}$$