$0 \le x \le a+3$ ($a > 0$) とする。 関数 $f(x) = x^2 - 4x + 3a^2 - 6a + 2$ の最小値が 7 であるとき、$a$ の値を求めよ。また、そのときの $f(x)$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le a+3$ ($a > 0$) とする。

関数 $f(x) = x^2 - 4x + 3a^2 - 6a + 2$ の最小値が 7 であるとき、$a$ の値を求めよ。また、そのときの $f(x)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = (x-2)^2 - 4 + 3a^2 - 6a + 2 = (x-2)^2 + 3a^2 - 6a - 2$

軸 $x=2$ と定義域 $0 \le x \le a+3$ の位置関係で場合分けする。

(1) $a+3 < 2$ のとき、すなわち $a < -1$ のとき (これは$a > 0$ に反するので不適)

(2) $0 \le 2 \le a+3$ のとき、すなわち $-3 \le a \le 2$ のとき

$f(x)$ は $x=2$ で最小値 $3a^2 - 6a - 2$ をとる。これが7であるから、

$3a^2 - 6a - 2 = 7$

$3a^2 - 6a - 9 = 0$

$a^2 - 2a - 3 = 0$

$(a-3)(a+1) = 0$

$a = 3$ または $a = -1$

$-3 \le a \le 2$ より、$a=-1$ (これは $a > 0$ に反するので不適)

(3) $2 < 0$　のとき（ありえないので不適）

(4) $a+3 > 2$ かつ $0 \le a+3$ すなわち $a>-1$ かつ $a \ge -3$　（すなわち $a>-1$）のとき

$a>0$ より、$a > 0$ である。

このとき、$x=2$ が定義域に含まれる場合、最小値は $f(2) = 3a^2 - 6a - 2 = 7$ となる。

$3a^2 - 6a - 9 = 0$

$a^2 - 2a - 3 = 0$

$(a-3)(a+1) = 0$

$a = 3$ または $a = -1$

$a>0$ より、$a=3$ 。

このとき、定義域は $0 \le x \le 6$ であり、軸 $x=2$ は定義域に含まれる。

最大値は $x=6$ でとる。

$f(6) = 6^2 - 4(6) + 3(3^2) - 6(3) + 2 = 36 - 24 + 27 - 18 + 2 = 23$

3. 最終的な答え

$a = 3$

最大値は $23$