与えられた式 $(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)(x^2+x+1)$ の部分を展開します。

$(x+1)(x^2+x+1) = x(x^2+x+1) + 1(x^2+x+1) = x^3 + x^2 + x + x^2 + x + 1 = x^3 + 2x^2 + 2x + 1$

次に、$(x^2-x+1)^2$ を展開します。

$(x^2-x+1)^2 = (x^2-x+1)(x^2-x+1) = x^2(x^2-x+1) -x(x^2-x+1) + 1(x^2-x+1) = x^4 - x^3 + x^2 - x^3 + x^2 - x + x^2 - x + 1 = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$

最後に、 $(x^3+2x^2+2x+1)(x^4-2x^3+3x^2-2x+1)$ を展開します。

\begin{align*}

& (x^3+2x^2+2x+1)(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) \\

&= x^3(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) + 2x^2(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) + 2x(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) + 1(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) \\

&= x^7 - 2x^6 + 3x^5 - 2x^4 + x^3 + 2x^6 - 4x^5 + 6x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 2x^5 - 4x^4 + 6x^3 - 4x^2 + 2x + x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1 \\

&= x^7 + (-2x^6+2x^6) + (3x^5-4x^5+2x^5) + (-2x^4+6x^4-4x^4+x^4) + (x^3-4x^3+6x^3-2x^3) + (2x^2-4x^2+3x^2) + (2x-2x) + 1 \\

&= x^7 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1

\end{align*}

3. 最終的な答え

$x^7 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1$