与えられた等差数列 $\{a_n\}$ と等比数列 $\{b_n\}$ について、以下の問題を解く。 (1) 等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。ただし、$a_1 = b_1 = 12$ かつ $a_4 = b_4 = 96$ とする。 (2) 等比数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $T_n$ とする。$T_n > S_{10}$ を満たす最小の自然数 $n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた等差数列 $\{a_n\}$ と等比数列 $\{b_n\}$ について、以下の問題を解く。

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。ただし、$a_1 = b_1 = 12$ かつ $a_4 = b_4 = 96$ とする。

(2) 等比数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $T_n$ とする。$T_n > S_{10}$ を満たす最小の自然数 $n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ について、初項 $a_1 = 12$ であり、第4項 $a_4 = 96$ であるから、公差 $d$ を求める。

$a_4 = a_1 + 3d$ より、$96 = 12 + 3d$。

よって、$3d = 84$ より、$d = 28$。

等差数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{n}{2}\{2a_1 + (n-1)d\}$

$S_n = \frac{n}{2}\{2(12) + (n-1)(28)\}$

$S_n = \frac{n}{2}(24 + 28n - 28)$

$S_n = \frac{n}{2}(28n - 4)$

$S_n = n(14n - 2)$

$S_n = 14n^2 - 2n$

(2) 等比数列 $\{b_n\}$ について、$b_1 = 12$ であり、$b_4 = 96$ であるから、公比 $r$ を求める。

$b_4 = b_1 \cdot r^3$ より、$96 = 12 \cdot r^3$。

よって、$r^3 = 8$ より、$r = 2$ (公比は実数であるという条件より)。

等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $T_n$ は、

$T_n = \frac{b_1(r^n - 1)}{r-1}$

$T_n = \frac{12(2^n - 1)}{2-1}$

$T_n = 12(2^n - 1)$

$S_{10}$ を計算する。

$S_{10} = 14(10)^2 - 2(10) = 1400 - 20 = 1380$

$T_n > S_{10}$ を満たす最小の自然数 $n$ を求める。

$12(2^n - 1) > 1380$

$2^n - 1 > \frac{1380}{12} = 115$

$2^n > 116$

$2^6 = 64$

$2^7 = 128$

よって、$n = 7$ が最小の自然数となる。

3. 最終的な答え

(1) $S_n = 14n^2 - 2n$

(2) $n = 7$