2次関数が $x=3$ で最大値 $7$ をとり、$x=1$ で $y=-5$ となるとき、その2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数が $x=3$ で最大値 $7$ をとり、$x=1$ で $y=-5$ となるとき、その2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、最大値が与えられているので、2次関数を頂点の形で表すことを考えます。

最大値が $x=3$ で $7$ なので、2次関数は $y = a(x-3)^2 + 7$ と表せます。ここで、$a$ は2次関数の係数であり、$a < 0$ であることに注意してください。

次に、$x=1$ で $y=-5$ という情報を使うと、$a$ の値を求めることができます。

$x=1$、$y=-5$ を $y = a(x-3)^2 + 7$ に代入すると、

$-5 = a(1-3)^2 + 7$

$-5 = a(-2)^2 + 7$

$-5 = 4a + 7$

$4a = -12$

$a = -3$

したがって、2次関数は $y = -3(x-3)^2 + 7$ となります。

これを展開して、一般的な形に変形します。

$y = -3(x^2 - 6x + 9) + 7$

$y = -3x^2 + 18x - 27 + 7$

$y = -3x^2 + 18x - 20$

3. 最終的な答え

$y = -3x^2 + 18x - 20$