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整式 $A$ を $x+2$ で割ったとき、商が $x^2 + 2x + 3$ で、余りが $2$ である。整式 $A$ を求める。

代数学整式多項式割り算因数定理展開
2025/8/14

1. 問題の内容

整式 AA を x+2x+2 で割ったとき、商が x2+2x+3x^2 + 2x + 3 で、余りが 22 である。整式 AA を求める。

2. 解き方の手順

割られる数 AA は、割る数、商、余りの関係から、次のように表すことができます。
A=(x+2)(x2+2x+3)+2A = (x+2)(x^2+2x+3) + 2
これを展開して整理することで、AA を求めます。
まず、(x+2)(x2+2x+3)(x+2)(x^2+2x+3) を展開します。
(x+2)(x2+2x+3)=x(x2+2x+3)+2(x2+2x+3)=x3+2x2+3x+2x2+4x+6(x+2)(x^2+2x+3) = x(x^2+2x+3) + 2(x^2+2x+3) = x^3 + 2x^2 + 3x + 2x^2 + 4x + 6
これを整理すると、
x3+4x2+7x+6x^3 + 4x^2 + 7x + 6
したがって、AA は
A=x3+4x2+7x+6+2=x3+4x2+7x+8A = x^3 + 4x^2 + 7x + 6 + 2 = x^3 + 4x^2 + 7x + 8

3. 最終的な答え

A=x3+4x2+7x+8A = x^3 + 4x^2 + 7x + 8

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