$a>0$、 $b>0$ のとき、$\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right) \geq 9$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

$a>0$、 $b>0$ のとき、$\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right) \geq 9$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right) - 9$を展開します。

\begin{align*}

\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right) - 9 &= ab + 4 + \frac{1}{b} \cdot b + \frac{1}{b} \cdot \frac{4}{a} - 9 \\

&= ab + 4 + 1 + \frac{4}{ab} - 9 \\

&= ab + \frac{4}{ab} - 4

\end{align*}

次に、$ab + \frac{4}{ab} - 4$ を変形して、平方の形にします。

\begin{align*}

ab + \frac{4}{ab} - 4 &= (\sqrt{ab})^2 - 2 \cdot \sqrt{ab} \cdot \frac{2}{\sqrt{ab}} + \left(\frac{2}{\sqrt{ab}}\right)^2 \\

&= \left(\sqrt{ab} - \frac{2}{\sqrt{ab}}\right)^2

\end{align*}

$\left(\sqrt{ab} - \frac{2}{\sqrt{ab}}\right)^2 \geq 0$ は常に成り立ちます。

したがって、

$\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right) - 9 = \left(\sqrt{ab} - \frac{2}{\sqrt{ab}}\right)^2 \geq 0$

なので、

$\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right) \geq 9$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right) \geq 9$