実数 $a, b, c$ と自然数 $m$ に関する以下の4つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を1つ示す。 (1) $a = 0 \implies ab = 0$ (2) $a^2 = 2a \implies a = 2$ (3) $ac = bc \implies a = b$ (4) $m$ が 2 の倍数ならば、$m$ は 4 の倍数である。

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ と自然数 $m$ に関する以下の4つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を1つ示す。

(1) $a = 0 \implies ab = 0$

(2) $a^2 = 2a \implies a = 2$

(3) $ac = bc \implies a = b$

(4) $m$ が 2 の倍数ならば、$m$ は 4 の倍数である。

2. 解き方の手順

(1) $a = 0$ ならば、$ab = 0 \cdot b = 0$ となるため、命題は真である。

(2) $a^2 = 2a$ を変形すると、$a^2 - 2a = 0$ となり、$a(a-2) = 0$ となる。したがって、$a=0$ または $a=2$ である。$a=0$ の場合、$a=2$ を満たさないので、命題は偽である。反例は $a = 0$ である。

(3) $ac = bc$ を変形すると、$ac - bc = 0$ となり、$c(a-b) = 0$ となる。したがって、$c = 0$ または $a = b$ である。$c = 0$ の場合、$a$ と $b$ は任意の実数になるので、$a = b$ とは限らない。命題は偽である。反例は $a = 1$, $b = 2$, $c = 0$ である。このとき、$ac = 1 \cdot 0 = 0$ であり、$bc = 2 \cdot 0 = 0$ であるが、$a \neq b$ である。

(4) $m$ が 2 の倍数ならば、$m = 2k$ ($k$ は自然数) と表せる。$m$ が 4 の倍数であるとは限らない。例えば、$m = 2$ のとき、$m$ は 2 の倍数であるが、4 の倍数ではない。命題は偽である。反例は $m = 2$ である。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽、反例：$a = 0$

(3) 偽、反例：$a = 1$, $b = 2$, $c = 0$

(4) 偽、反例：$m = 2$