以下の連立2次不等式を解き、$x$ の値の範囲を求めます。 (1) $\begin{cases} 3x^2 - 4x + 2 > 0 \\ x^2 - 2x + 3 < 0 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} 3x^2 - 5x - 2 < 0 \\ x^2 - 4x + 5 > 0 \end{cases}$

はい、承知いたしました。画像にある2次不等式の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の連立2次不等式を解き、$x$ の値の範囲を求めます。

(1)

$\begin{cases}

3x^2 - 4x + 2 > 0 \\

x^2 - 2x + 3 < 0

\end{cases}$

(2)

$\begin{cases}

3x^2 - 5x - 2 < 0 \\

x^2 - 4x + 5 > 0

\end{cases}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式 $3x^2 - 4x + 2 > 0$ を解きます。

判別式 $D_1 = (-4)^2 - 4(3)(2) = 16 - 24 = -8 < 0$ なので、$3x^2 - 4x + 2$ は常に正の値をとります。

したがって、すべての実数 $x$ について、$3x^2 - 4x + 2 > 0$ が成り立ちます。

次に、不等式 $x^2 - 2x + 3 < 0$ を解きます。

判別式 $D_2 = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0$ なので、$x^2 - 2x + 3$ は常に正の値をとります。

したがって、すべての実数 $x$ について、$x^2 - 2x + 3 > 0$ が成り立ちます。

よって、$x^2 - 2x + 3 < 0$ を満たす $x$ は存在しません。

したがって、連立不等式(1)を満たす $x$ は存在しません。

(2)

まず、不等式 $3x^2 - 5x - 2 < 0$ を解きます。

$3x^2 - 5x - 2 = (3x + 1)(x - 2) < 0$

したがって、$-\frac{1}{3} < x < 2$

次に、不等式 $x^2 - 4x + 5 > 0$ を解きます。

判別式 $D_3 = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 < 0$ なので、$x^2 - 4x + 5$ は常に正の値をとります。

したがって、すべての実数 $x$ について、$x^2 - 4x + 5 > 0$ が成り立ちます。

したがって、連立不等式(2)を満たす $x$ の範囲は、$-\frac{1}{3} < x < 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) 存在しない

(2) $-\frac{1}{3} < x < 2$