(1) $A$ を有理数全体の集合、$B$ を無理数全体の集合とする。空集合を $\emptyset$ とする。次の(i)〜(iv)が真の命題になるように、空欄を埋める。 (i) $A$ \_\_ $\{0\}$ (ii) $\sqrt{28}$ \_\_ $B$ (iii) $A = \{0\}$ \_\_ $A$ (iv) $\emptyset = A$ \_\_ $B$ (2) 実数 $x$ に対する条件 $p, q, r$ を次のように定める。 $p$: $x$ は無理数 $q$: $x + \sqrt{28}$ は有理数 $r$: $\sqrt{28}x$ は有理数 次の空欄を埋める。 $p$ は $q$ であるための \_\_ $p$ は $r$ であるための \_\_

1. 問題の内容

(1) $A$ を有理数全体の集合、$B$ を無理数全体の集合とする。空集合を $\emptyset$ とする。次の(i)〜(iv)が真の命題になるように、空欄を埋める。

(i) $A$ \_\_ $\{0\}$

(ii) $\sqrt{28}$ \_\_ $B$

(iii) $A = \{0\}$ \_\_ $A$

(iv) $\emptyset = A$ \_\_ $B$

(2) 実数 $x$ に対する条件 $p, q, r$ を次のように定める。

$p$: $x$ は無理数

$q$: $x + \sqrt{28}$ は有理数

$r$: $\sqrt{28}x$ は有理数

次の空欄を埋める。

$p$ は $q$ であるための \_\_

$p$ は $r$ であるための \_\_

2. 解き方の手順

(1)

(i) $A$ は有理数全体の集合であり、$0$ は有理数なので、$0 \in A$。したがって、$A \supset \{0\}$ であるから、答えは $\supset$ (3)。

(ii) $\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ であり、$\sqrt{7}$ が無理数であることから、$\sqrt{28}$ は無理数である。したがって、$\sqrt{28} \in B$ であるから、答えは $\in$ (0)。

(iii) $A = \{0\}$ は、$A$ が $0$ のみからなる集合であることを意味する。しかし、$A$ は有理数全体の集合であるから、$A \neq \{0\}$ である。したがって、$\{0\} \not\subset A$。答えは $\not\subset$ 。選択肢に該当するものがないため問題不備と考えられる。しかし、最も近いものを選ぶとすれば$\{0\}\subset A$は偽なので$\{0\}\not\supset A$を意味する①を選び、$A \neq \{0\}$を示すとする。

(iv) $\emptyset$ は空集合、$A$ は有理数全体の集合、$B$ は無理数全体の集合である。空集合はすべての集合の部分集合であるから、$\emptyset \subset A$ であり、$\emptyset \subset B$ である。よって、$\emptyset = A$ は偽であり、$\emptyset = A$ \_\_ $B$ を真にするためには、$\emptyset \subset B$ である必要がある。$\subset$ は選択肢にないためこれも問題不備と考えられる。しかし、最も近いものを選ぶとすれば$\emptyset \not\supset B$を示す④を選ぶとする。

(2)

$p$: $x$ は無理数

$q$: $x + \sqrt{28}$ は有理数

$r$: $\sqrt{28}x$ は有理数

$p \Rightarrow q$: $x$ が無理数のとき、$x + \sqrt{28}$ が有理数となるかどうか。

$x = -\sqrt{28}$ のとき、$x$ は無理数であるが、$x + \sqrt{28} = -\sqrt{28} + \sqrt{28} = 0$ となり有理数である。

$x = \sqrt{2}$ のとき、$x$ は無理数であり、$x + \sqrt{28} = \sqrt{2} + 2\sqrt{7}$ は無理数となる。

したがって、$p \Rightarrow q$ は真ではない。

$q \Rightarrow p$: $x + \sqrt{28}$ が有理数のとき、$x$ が無理数かどうか。

$x + \sqrt{28} = a$ (有理数) とすると、$x = a - \sqrt{28}$ となる。$a$ は有理数、$\sqrt{28}$ は無理数なので、$x$ は無理数である。

したがって、$q \Rightarrow p$ は真である。

よって、$p$ は $q$ であるための必要条件である。しかし、十分条件ではない。(1)

$p \Rightarrow r$: $x$ が無理数のとき、$\sqrt{28}x$ が有理数となるかどうか。

$x = \sqrt{7}$ のとき、$x$ は無理数であり、$\sqrt{28}x = \sqrt{28}\sqrt{7} = 2\sqrt{7}\sqrt{7} = 2 \times 7 = 14$ となり有理数である。

$x = \sqrt{2}$ のとき、$x$ は無理数であり、$\sqrt{28}x = \sqrt{28}\sqrt{2} = 2\sqrt{7}\sqrt{2} = 2\sqrt{14}$ は無理数である。

したがって、$p \Rightarrow r$ は真ではない。

$r \Rightarrow p$: $\sqrt{28}x$ が有理数のとき、$x$ が無理数かどうか。

$\sqrt{28}x = a$ (有理数) とすると、$x = \frac{a}{\sqrt{28}} = \frac{a}{2\sqrt{7}}$ となる。$a = 0$ ならば $x = 0$ となり有理数である。

$a \neq 0$ のとき、$x = \frac{a}{2\sqrt{7}} = \frac{a\sqrt{7}}{14}$ となり無理数である。

したがって、$r \Rightarrow p$ は真ではない。

$x = 0$のとき、$x$は有理数、$x + \sqrt{28}$は無理数、$\sqrt{28}x = 0$は有理数

したがって、$p$は$r$であるための十分条件でも必要条件でもない(3)

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 0

ウ: 1

エ: 4

オ: 1

カ: 3