整式 $A$ を $2x+3$ で割ったときの商が $4x^2 - x + 4$ で、余りが $1$ であるとき、整式 $A$ を求めます。

1. 問題の内容

整式 $A$ を $2x+3$ で割ったときの商が $4x^2 - x + 4$ で、余りが $1$ であるとき、整式 $A$ を求めます。

2. 解き方の手順

整式 $A$ は、割る式と商の積に余りを足したもので表されます。

つまり、$A = (2x+3)(4x^2 - x + 4) + 1$ です。

まず、$(2x+3)(4x^2 - x + 4)$ を展開します。

\begin{align*}

(2x+3)(4x^2 - x + 4) &= 2x(4x^2 - x + 4) + 3(4x^2 - x + 4) \\

&= 8x^3 - 2x^2 + 8x + 12x^2 - 3x + 12 \\

&= 8x^3 + (-2+12)x^2 + (8-3)x + 12 \\

&= 8x^3 + 10x^2 + 5x + 12

\end{align*}

次に、この結果に余りの $1$ を足します。

$A = 8x^3 + 10x^2 + 5x + 12 + 1 = 8x^3 + 10x^2 + 5x + 13$

3. 最終的な答え

$8x^3 + 10x^2 + 5x + 13$