次の方程式を解いて、$x$ の値を求めます。 $\frac{3}{x} - \frac{1}{6} = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

次の方程式を解いて、$x$ の値を求めます。

$\frac{3}{x} - \frac{1}{6} = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

まず、方程式を整理します。両辺に $12x$ をかけて分母を払います。

$12x \left( \frac{3}{x} - \frac{1}{6} \right) = 12x \left( \frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \right)$

$36 - 2x = 3x^2 + 6x$

次に、二次方程式の形にします。

$3x^2 + 6x + 2x - 36 = 0$

$3x^2 + 8x - 36 = 0$

この二次方程式を解くために、解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 3$, $b = 8$, $c = -36$ です。

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(3)(-36)}}{2(3)}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 432}}{6}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{496}}{6}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{16 \cdot 31}}{6}$

$x = \frac{-8 \pm 4\sqrt{31}}{6}$

$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{31}}{3}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{-4 + 2\sqrt{31}}{3}$ または $x = \frac{-4 - 2\sqrt{31}}{3}$