2次方程式 $x^2 - 4x - 2m = 0$ (ここで $m$ は整数) が整数解 $a$ を持つとき、$m$ が偶数であることを示す問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2m = 0$ (ここで $m$ は整数) が整数解 $a$ を持つとき、$m$ が偶数であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = a$ がこの2次方程式の解であることから、

$a$ を方程式に代入すると、

$a^2 - 4a - 2m = 0$

という関係が成り立ちます。この式を $2m$ について解くと、

$2m = a^2 - 4a$

両辺を2で割ると、

$m = \frac{a^2 - 4a}{2}$

$m = \frac{a(a-4)}{2}$

ここで、$m$ が整数であるためには、$\frac{a(a-4)}{2}$ が整数でなければなりません。

$a$ が整数のとき、$a-4$ も整数なので、$a(a-4)$ は整数です。

$\frac{a(a-4)}{2}$ が整数になるためには、$a(a-4)$ が偶数であることが必要十分条件です。

$a(a-4)$ が偶数になるのは、$a$ が偶数または $a-4$ が偶数のときです。

もし $a$ が偶数ならば、$a = 2k$（$k$ は整数）と書けます。このとき、$m = \frac{2k(2k-4)}{2} = k(2k-4) = 2k(k-2)$ となり、$m$ は偶数です。

もし $a$ が奇数ならば、$a = 2k+1$（$k$ は整数）と書けます。このとき、$a-4 = 2k+1 - 4 = 2k-3$ も奇数なので、$a(a-4)$ は奇数 $\times$ 奇数 = 奇数となり、$\frac{a(a-4)}{2}$ が整数になることはありません。

したがって、$a$ は偶数でなければならず、$a = 2k$ と書けるとき、$m = \frac{a(a-4)}{2} = 2k(k-2)$ となり、$m$ は偶数であることが示されました。

3. 最終的な答え

$m$ は偶数である。