2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 15$ が与えられており、$y = f(x)$ のグラフを $C$ とする。ただし、$a$ は正の定数とする。 (1) 関数 $f(x)$ の最小値を $a$ を用いて表す。 (2) グラフ $C$ が $x$ 軸と異なる 2 点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。 (3) $x > 2$ の範囲で、グラフ $C$ が異なる 2 点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 15$ が与えられており、$y = f(x)$ のグラフを $C$ とする。ただし、$a$ は正の定数とする。

(1) 関数 $f(x)$ の最小値を $a$ を用いて表す。

(2) グラフ $C$ が $x$ 軸と異なる 2 点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

(3) $x > 2$ の範囲で、グラフ $C$ が異なる 2 点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 15 = (x - a)^2 - a^2 - 2a + 15$

したがって、最小値は $-a^2 - 2a + 15$

(2) $C$ が $x$ 軸と異なる 2 点で交わるためには、判別式 $D > 0$ である必要がある。

$f(x) = 0$ となる異なる 2 つの実数解を持つ条件は $D > 0$ である。

$D/4 = a^2 - (-2a + 15) = a^2 + 2a - 15 > 0$

$(a + 5)(a - 3) > 0$

$a < -5$ または $a > 3$

$a$ は正の定数なので、$a > 3$

(3) $x > 2$ の範囲で $C$ が異なる 2 点で交わるためには、以下の条件を満たす必要がある。

i) $D > 0$ (すでに $a > 3$)

ii) 軸 $x = a > 2$

iii) $f(2) > 0$

$f(2) = 4 - 4a - 2a + 15 = 19 - 6a > 0$

$6a < 19$

$a < \frac{19}{6}$

したがって、$3 < a < \frac{19}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $-a^2 - 2a + 15$

(2) $a > 3$

(3) $3 < a < \frac{19}{6}$