$n$ を3以上の自然数とするとき、数学的帰納法によって不等式 $2^n > 2n$ が成り立つことを証明する。空欄を埋める問題である。

1. 問題の内容

$n$ を3以上の自然数とするとき、数学的帰納法によって不等式 $2^n > 2n$ が成り立つことを証明する。空欄を埋める問題である。

2. 解き方の手順

[1] $n=3$ のとき (左辺) = $2^3 = 8$, (右辺) = $2 \times 3 = 6$ なので、$n=3$ のとき $2^n > 2n$ は成り立つ。したがって、空欄1には3が入る。

空欄2には8が、空欄3には6が入る。

[2] $n=k$ ($k \geq 3$) のとき、$2^k > 2k$ が成り立つと仮定する。したがって、空欄4には3が入る。

$2^k > 2k$ は $n=k$ のときに成り立つと仮定することであるから、空欄5の選択肢は②である。

$2^k > 2k$ の両辺に2を掛けると、$2 \times 2^k > 2 \times 2k$ すなわち $2^{k+1} > 4k$。したがって、空欄6には2が入る。

また、$2^{k+1} > 4k$ より、$2^{k+1} > 4k$。したがって、空欄7には$4k$が入る。

$4k$と$2(k+1)$ の大小を比べると、$k \geq 3$ より、$4k - 2(k+1) = 4k - 2k - 2 = 2k - 2 = 2(k-1) > 0$ であるため、$4k > 2(k+1)$。

したがって、$2^{k+1} > 4k > 2(k+1)$ となり、$2^{k+1} > 2(k+1)$。

次に、$4k-2(k+1) = 2k - 2 = 2(k-1)$ なので、$4k - 2(k+1) > 0$ を示す必要がある。

$4k-2(k+1)=2(k-1)$

したがって、空欄8には$2(k+1)$が入る。

また空欄9には2が、空欄10には1が入る。

3. 最終的な答え

1: 3

2: 8

3: 6

4: 3

5: ②

6: 2

7: 4k

8: 2(k+1)

9: 2

10: 1