2次方程式 $x^2 - 2x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、以下の値を求めます。 (1) $\alpha, \beta$ (2) $\alpha + \beta, \alpha \beta$ (3) $\alpha^2 + \beta^2, \alpha^2 \beta^4 + \alpha^4 \beta^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha, \beta$

(2) $\alpha + \beta, \alpha \beta$

(3) $\alpha^2 + \beta^2, \alpha^2 \beta^4 + \alpha^4 \beta^2$

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 2x - 4 = 0$ を解の公式を用いて解きます。

解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。この方程式では、$a=1, b=-2, c=-4$ です。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

$\alpha < \beta$ なので、$\alpha = 1 - \sqrt{5}, \beta = 1 + \sqrt{5}$

(2) 解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \alpha \beta = \frac{c}{a}$ です。

したがって、$\alpha + \beta = -\frac{-2}{1} = 2, \alpha \beta = \frac{-4}{1} = -4$

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (2)^2 - 2(-4) = 4 + 8 = 12$

$\alpha^2 \beta^4 + \alpha^4 \beta^2 = \alpha^2 \beta^2 (\beta^2 + \alpha^2) = (\alpha \beta)^2 (\alpha^2 + \beta^2) = (-4)^2 (12) = 16 \times 12 = 192$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 1 - \sqrt{5}, \beta = 1 + \sqrt{5}$

(2) $\alpha + \beta = 2, \alpha \beta = -4$

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = 12, \alpha^2 \beta^4 + \alpha^4 \beta^2 = 192$