次の式を計算してください。 $\frac{1}{1-\sqrt{2}} + \frac{1}{1+\sqrt{2}} - \frac{1}{2-\sqrt{2}} - \frac{1}{2+\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

次の式を計算してください。

$\frac{1}{1-\sqrt{2}} + \frac{1}{1+\sqrt{2}} - \frac{1}{2-\sqrt{2}} - \frac{1}{2+\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{1-\sqrt{2}} + \frac{1}{1+\sqrt{2}}$ を計算します。

通分すると、

$\frac{1+\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{2}{1-2} = \frac{2}{-1} = -2$

次に、$\frac{1}{2-\sqrt{2}} + \frac{1}{2+\sqrt{2}}$ を計算します。

通分すると、

$\frac{2+\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2}}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{4}{4-2} = \frac{4}{2} = 2$

したがって、

$\frac{1}{1-\sqrt{2}} + \frac{1}{1+\sqrt{2}} - \frac{1}{2-\sqrt{2}} - \frac{1}{2+\sqrt{2}} = -2 - 2 = -4$

3. 最終的な答え

-4