与えられた2次関数 $f(x) = x^2 + 2ax + b$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a, b$ は実数の定数で、$a > 0$ です。 (1) $y = f(x)$ のグラフが点 $(1, 8)$ を通ることから、$b$ を $a$ を用いて表します。 (2) $y = f(x)$ のグラフの頂点が直線 $y = x + 1$ 上にあるとき、$a$ の値を求めます。 (3) (2)のとき、負の定数 $p$ について、$p \leq x \leq 0$ における関数 $f(x)$ の最大値と最小値の差が $-2p$ となるような $p$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = x^2 + 2ax + b$ について、以下の問いに答えます。ただし、$a, b$ は実数の定数で、$a > 0$ です。

(1) $y = f(x)$ のグラフが点 $(1, 8)$ を通ることから、$b$ を $a$ を用いて表します。

(2) $y = f(x)$ のグラフの頂点が直線 $y = x + 1$ 上にあるとき、$a$ の値を求めます。

(3) (2)のとき、負の定数 $p$ について、$p \leq x \leq 0$ における関数 $f(x)$ の最大値と最小値の差が $-2p$ となるような $p$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

グラフが点$(1, 8)$ を通るので、$f(1) = 8$ が成り立ちます。

$f(1) = 1^2 + 2a(1) + b = 1 + 2a + b$

したがって、

$1 + 2a + b = 8$

$b = 7 - 2a$

(2)

$f(x) = x^2 + 2ax + b$ を平方完成します。

$f(x) = (x + a)^2 - a^2 + b$

頂点の座標は $(-a, -a^2 + b)$ です。

これが直線 $y = x + 1$ 上にあるので、

$-a^2 + b = -a + 1$

(1)より $b = 7 - 2a$ なので、

$-a^2 + 7 - 2a = -a + 1$

$a^2 + a - 6 = 0$

$(a + 3)(a - 2) = 0$

$a = -3, 2$

$a > 0$ より、$a = 2$

(3)

(2)より、$a = 2$ であり、$b = 7 - 2(2) = 3$ なので、$f(x) = x^2 + 4x + 3 = (x + 2)^2 - 1$

頂点の座標は $(-2, -1)$ で、$p \leq x \leq 0$ における $f(x)$ の最大値と最小値の差が $-2p$ となるような $p$ の値を求めます。

$f(0) = 3$

軸 $x = -2$

$p \le x \le 0$ において、軸 $x = -2$ がこの区間に入る場合、最小値は $f(-2) = -1$ となります。

最大値は $f(0) = 3$ または $f(p)$ です。

$f(p) = p^2 + 4p + 3$

$p \le -2$ のとき、$f(p) \ge f(0) = 3$ です。なぜなら、$p \le -2$ のとき、$p^2 + 4p \ge 0$ だからです。したがって、最大値は $f(p)$ です。

$-2 \le p \lt 0$ のとき、$f(0) \ge f(p)$ です。したがって、最大値は $f(0) = 3$ です。

$f(0) - f(-2) = 3 - (-1) = 4$

場合1: $-2 \le p \lt 0$ の場合

$f(0) - f(-2) = 4 = -2p$

$p = -2$

これは $-2 \le p \lt 0$ を満たしません。

場合2: $p \le -2$ の場合

$f(p) - f(-2) = p^2 + 4p + 3 - (-1) = p^2 + 4p + 4 = -2p$

$p^2 + 6p + 4 = 0$

$p = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}$

$p \le -2$ であるから、 $p = -3 - \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $b = 7 - 2a$

(2) $a = 2$

(3) $p = -3 - \sqrt{5}$