正の実数 $a$ に対して、実数 $x$ に関する3つの条件 $p, q, r$ が与えられている。 $p: |x-1| \leq a$ $q: |x| \leq \frac{5}{2}$ $r: x^2 - 2x \leq a$ (1) $a=1$ のとき、$p$ は $q$ であるための何条件か、$a=3$ のとき、$p$ は $q$ であるための何条件か。 (2) 命題 $p \Rightarrow q$ が真となるような $a$ の最大値は何か。また、命題 $q \Rightarrow p$ が真となるような $a$ の最小値は何か。 (3) 命題 $r \Rightarrow q$ が真となるような $a$ の最大値は何か。

1. 問題の内容

正の実数 $a$ に対して、実数 $x$ に関する3つの条件 $p, q, r$ が与えられている。

$p: |x-1| \leq a$

$q: |x| \leq \frac{5}{2}$

$r: x^2 - 2x \leq a$

(1) $a=1$ のとき、$p$ は $q$ であるための何条件か、$a=3$ のとき、$p$ は $q$ であるための何条件か。

(2) 命題 $p \Rightarrow q$ が真となるような $a$ の最大値は何か。また、命題 $q \Rightarrow p$ が真となるような $a$ の最小値は何か。

(3) 命題 $r \Rightarrow q$ が真となるような $a$ の最大値は何か。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$p$ と $q$ の範囲を具体的に求める。

$p: |x-1| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x-1 \leq a \Leftrightarrow 1-a \leq x \leq 1+a$

$q: |x| \leq \frac{5}{2} \Leftrightarrow -\frac{5}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$

$a=1$ のとき、$p: 0 \leq x \leq 2$ 。このとき、$p$ ならば $q$ は真ではない($x=0$の時、$0 \leq x \leq 2$を満たすが、$-\frac{5}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$ を満たす)。また、$q$ ならば $p$ は真ではない($x=-2$の時、$0 \leq x \leq 2$を満たさないが、$-\frac{5}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$ を満たす)。よって、必要条件でも十分条件でもない。

$a=3$ のとき、$p: -2 \leq x \leq 4$ 。このとき、$p$ ならば $q$ は真ではない($x=3$の時、$-2 \leq x \leq 4$を満たすが、$|x| \leq \frac{5}{2}$ を満たさない)。また、$q$ ならば $p$ は真である。よって、必要条件であるが、十分条件ではない。

(2)

$p \Rightarrow q$ が真となるためには、$1-a \geq -\frac{5}{2}$ かつ $1+a \leq \frac{5}{2}$ が必要。

$1-a \geq -\frac{5}{2} \Leftrightarrow a \leq \frac{7}{2}$

$1+a \leq \frac{5}{2} \Leftrightarrow a \leq \frac{3}{2}$

よって、$a \leq \frac{3}{2}$ なので、最大値は $\frac{3}{2}$ 。

$q \Rightarrow p$ が真となるためには、$1-a \leq -\frac{5}{2}$ かつ $1+a \geq \frac{5}{2}$ が必要。

$1-a \leq -\frac{5}{2} \Leftrightarrow a \geq \frac{7}{2}$

$1+a \geq \frac{5}{2} \Leftrightarrow a \geq \frac{3}{2}$

よって、$a \geq \frac{7}{2}$ なので、最小値は $\frac{7}{2}$ 。

(3)

$r: x^2 - 2x \leq a \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 \leq a + 1 \Leftrightarrow (x-1)^2 \leq a+1 \Leftrightarrow -\sqrt{a+1} \leq x-1 \leq \sqrt{a+1} \Leftrightarrow 1-\sqrt{a+1} \leq x \leq 1+\sqrt{a+1}$

$r \Rightarrow q$ が真となるためには、$1-\sqrt{a+1} \geq -\frac{5}{2}$ かつ $1+\sqrt{a+1} \leq \frac{5}{2}$ が必要。

$1-\sqrt{a+1} \geq -\frac{5}{2} \Leftrightarrow \sqrt{a+1} \leq \frac{7}{2} \Leftrightarrow a+1 \leq \frac{49}{4} \Leftrightarrow a \leq \frac{45}{4}$

$1+\sqrt{a+1} \leq \frac{5}{2} \Leftrightarrow \sqrt{a+1} \leq \frac{3}{2} \Leftrightarrow a+1 \leq \frac{9}{4} \Leftrightarrow a \leq \frac{5}{4}$

よって、$a \leq \frac{5}{4}$ なので、最大値は $\frac{5}{4}$ 。

3. 最終的な答え

(1) ア：3, イ：1

(2) ウ：3, エ：2, オ：7, カ：2

(3) キ：5, ク：4