## 8. 次の式を展開せよ。

代数学式の展開多項式
2025/8/14
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8. 次の式を展開せよ。

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1. 問題の内容

与えられた9個の式を展開する問題です。展開とは、括弧を外して、式を整理することです。
(1) (x+4)2(x+4)^2
(2) (4a+3)2(4a+3)^2
(3) (3x1)2(3x-1)^2
(4) (a+7b)2(a+7b)^2
(5) (2x5y)2(2x-5y)^2
(6) (a+3)(a3)(a+3)(a-3)
(7) (x10)(x+10)(x-10)(x+10)
(8) (6a+b)(6ab)(6a+b)(6a-b)
(9) (5x2y)(5x+2y)(5x-2y)(5x+2y)
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2. 解き方の手順

これらの式を展開するには、主に以下の公式を利用します。
* (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
* (ab)2=a22ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
* (a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
それでは、各問題を解いていきます。
(1) (x+4)2=x2+2x4+42=x2+8x+16(x+4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16
(2) (4a+3)2=(4a)2+2(4a)3+32=16a2+24a+9(4a+3)^2 = (4a)^2 + 2 \cdot (4a) \cdot 3 + 3^2 = 16a^2 + 24a + 9
(3) (3x1)2=(3x)22(3x)1+12=9x26x+1(3x-1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1
(4) (a+7b)2=a2+2a(7b)+(7b)2=a2+14ab+49b2(a+7b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (7b) + (7b)^2 = a^2 + 14ab + 49b^2
(5) (2x5y)2=(2x)22(2x)(5y)+(5y)2=4x220xy+25y2(2x-5y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (5y) + (5y)^2 = 4x^2 - 20xy + 25y^2
(6) (a+3)(a3)=a232=a29(a+3)(a-3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9
(7) (x10)(x+10)=x2102=x2100(x-10)(x+10) = x^2 - 10^2 = x^2 - 100
(8) (6a+b)(6ab)=(6a)2b2=36a2b2(6a+b)(6a-b) = (6a)^2 - b^2 = 36a^2 - b^2
(9) (5x2y)(5x+2y)=(5x)2(2y)2=25x24y2(5x-2y)(5x+2y) = (5x)^2 - (2y)^2 = 25x^2 - 4y^2
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3. 最終的な答え

(1) x2+8x+16x^2 + 8x + 16
(2) 16a2+24a+916a^2 + 24a + 9
(3) 9x26x+19x^2 - 6x + 1
(4) a2+14ab+49b2a^2 + 14ab + 49b^2
(5) 4x220xy+25y24x^2 - 20xy + 25y^2
(6) a29a^2 - 9
(7) x2100x^2 - 100
(8) 36a2b236a^2 - b^2
(9) 25x24y225x^2 - 4y^2
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9. 次の式を展開せよ。

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1. 問題の内容

与えられた4個の式を展開する問題です。
(1) (ab+c)2(a-b+c)^2
(2) (x+yz)2(x+y-z)^2
(3) (a2b3c)2(a-2b-3c)^2
(4) (2x3y+z)2(2x-3y+z)^2
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2. 解き方の手順

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2caの公式を使用します。
(1) (ab+c)2=a2+(b)2+c2+2a(b)+2(b)c+2ca=a2+b2+c22ab2bc+2ca(a-b+c)^2 = a^2 + (-b)^2 + c^2 + 2 \cdot a \cdot (-b) + 2 \cdot (-b) \cdot c + 2 \cdot c \cdot a = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca
(2) (x+yz)2=x2+y2+(z)2+2xy+2y(z)+2(z)x=x2+y2+z2+2xy2yz2zx(x+y-z)^2 = x^2 + y^2 + (-z)^2 + 2 \cdot x \cdot y + 2 \cdot y \cdot (-z) + 2 \cdot (-z) \cdot x = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2yz - 2zx
(3) (a2b3c)2=a2+(2b)2+(3c)2+2a(2b)+2(2b)(3c)+2(3c)a=a2+4b2+9c24ab+12bc6ca(a-2b-3c)^2 = a^2 + (-2b)^2 + (-3c)^2 + 2 \cdot a \cdot (-2b) + 2 \cdot (-2b) \cdot (-3c) + 2 \cdot (-3c) \cdot a = a^2 + 4b^2 + 9c^2 - 4ab + 12bc - 6ca
(4) (2x3y+z)2=(2x)2+(3y)2+z2+2(2x)(3y)+2(3y)z+2z(2x)=4x2+9y2+z212xy6yz+4zx(2x-3y+z)^2 = (2x)^2 + (-3y)^2 + z^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (-3y) + 2 \cdot (-3y) \cdot z + 2 \cdot z \cdot (2x) = 4x^2 + 9y^2 + z^2 - 12xy - 6yz + 4zx
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3. 最終的な答え

(1) a2+b2+c22ab2bc+2caa^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca
(2) x2+y2+z2+2xy2yz2zxx^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2yz - 2zx
(3) a2+4b2+9c24ab+12bc6caa^2 + 4b^2 + 9c^2 - 4ab + 12bc - 6ca
(4) 4x2+9y2+z212xy6yz+4zx4x^2 + 9y^2 + z^2 - 12xy - 6yz + 4zx

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