多項式 $3x^3 - 2x^2 + 4x + 6$ を多項式 $x^2 - x + 1$ で割ったときの商と余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $3x^3 - 2x^2 + 4x + 6$ を多項式 $x^2 - x + 1$ で割ったときの商と余りを求めよ。

2. 解き方の手順

多項式の割り算を行います。

まず、$3x^3 - 2x^2 + 4x + 6$ を $x^2 - x + 1$ で割ります。

$3x^3$ を $x^2$ で割ると $3x$ となるので、商の最初の項は $3x$ です。

$3x(x^2 - x + 1) = 3x^3 - 3x^2 + 3x$

$(3x^3 - 2x^2 + 4x + 6) - (3x^3 - 3x^2 + 3x) = x^2 + x + 6$

次に、$x^2 + x + 6$ を $x^2 - x + 1$ で割ります。

$x^2$ を $x^2$ で割ると $1$ となるので、商の次の項は $1$ です。

$1(x^2 - x + 1) = x^2 - x + 1$

$(x^2 + x + 6) - (x^2 - x + 1) = 2x + 5$

したがって、商は $3x + 1$ で、余りは $2x + 5$ です。

3. 最終的な答え

商: $3x + 1$

余り: $2x + 5$