与えられた2つの2次関数について、指定された定義域における値域を求めます。 (1) $y = -2x^2 - 8x + 3$, $-3 \le x \le 2$ (2) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$, $-2 \le x \le 4$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、指定された定義域における値域を求めます。

(1) $y = -2x^2 - 8x + 3$, $-3 \le x \le 2$

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$, $-2 \le x \le 4$

2. 解き方の手順

各2次関数について、次の手順で値域を求めます。

(1) 平方完成を行い、頂点の座標を求める。

(2) 定義域の端点におけるyの値を求める。

(3) 頂点のy座標と端点のy座標を比較し、最大値と最小値を求める。

(4) 値域を記述する。

(1) $y = -2x^2 - 8x + 3$

平方完成を行います。

$y = -2(x^2 + 4x) + 3$

$y = -2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 3$

$y = -2((x+2)^2 - 4) + 3$

$y = -2(x+2)^2 + 8 + 3$

$y = -2(x+2)^2 + 11$

頂点の座標は$(-2, 11)$です。

定義域は$-3 \le x \le 2$です。

$x = -3$のとき、$y = -2(-3+2)^2 + 11 = -2(1) + 11 = 9$

$x = 2$のとき、$y = -2(2+2)^2 + 11 = -2(16) + 11 = -32 + 11 = -21$

頂点のx座標$-2$は定義域に含まれているため、頂点のy座標11は値域に含まれます。

したがって、最大値は11、最小値は-21です。

値域は $-21 \le y \le 11$

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$

平方完成を行います。

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x) + 1$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1$

$y = \frac{1}{2}((x-2)^2 - 4) + 1$

$y = \frac{1}{2}(x-2)^2 - 2 + 1$

$y = \frac{1}{2}(x-2)^2 - 1$

頂点の座標は$(2, -1)$です。

定義域は$-2 \le x \le 4$です。

$x = -2$のとき、$y = \frac{1}{2}(-2-2)^2 - 1 = \frac{1}{2}(16) - 1 = 8 - 1 = 7$

$x = 4$のとき、$y = \frac{1}{2}(4-2)^2 - 1 = \frac{1}{2}(4) - 1 = 2 - 1 = 1$

頂点のx座標2は定義域に含まれているため、頂点のy座標-1は値域に含まれます。

したがって、最大値は7、最小値は-1です。

値域は $-1 \le y \le 7$

3. 最終的な答え

(1) $-21 \le y \le 11$

(2) $-1 \le y \le 7$